Matematyka wciąż należy do tych przedmiotów, z którymi uczniowie mają ogromne problemy. Choć dysponujemy już wieloma, w tym również polskimi badaniami, problem nie znika, a można nawet odnieść wrażenie, że wciąż się pogłębia. Sytuacji nie poprawiło wprowadzenie obowiązkowej matury, bo od mierzenia ani wiedzy, ani umiejetności nikomu nie przybywa. Jak pokazują badania, w tym OBUT , źródłem niepowodzeń są złe metody nauczania matematyki, a także przekonania nauczycieli, które blokują wykorzystanie potencjału dzieci. Owe przekonania Alina Kalinowska nazwała mitami i szczegółowo omówiła w publikacji „Pozwólmy dzieciom działać – mity i fakty o rozwijaniu myślenia matematycznego”.
Poszczególne mity są jednocześnie rozdziałami książki.
Autorka w bardzo czytelny i jasny sposób wyjaśnia, dlaczego obecna formuła nauczania matematyki nie jest dobra dla żadnej grupy uczniów. Wnioski, do których dochodzi Alina Kalinowska są zblieżne z postulatami płynącymi od badaczy mózgu. Uczenie się nie jest procesem biernym i wymaga aktywności, synapsy zmieniają się tylko wtedy, gdy są aktywne. Dlatego oczekiwanie od uczniów, by siedzieli, słuchali i powtarzali to, co powiedział lub zademonstrował nauczyciel, blokuje proces uczenia się. Jednak wielu nauczycieli konsekwentnie ignoruje wiedzę uczniów i ich strategie rozwiązywania zadań i wierzy, że uczniowie potrafią jedynie to, co już zostało w szkole przerobione. Takie przekonanie oparte jest na postrzeganiu procesu uczenia się jako pochodnej procesu nauczania. Jeśli nauczyciel naucza, to uczniowie się uczą, jeśli coś wyjaśnia, to oni rozumieją. Takie podejście skutkuje coraz większym formalizowaniem i zbiurokratyzowaniem nauczania. Nauczyciele matematyczną wiedzę często utożsamiają z określonym zestawem algorytmów, które trzeba „przerobić”. Prowadzi to do tzw. „bezmyślności matematycznej” (A. Kalinowska str. 5) i wyuczonej bezradności. Uczniowie widząc nowe zadanie nie myślą, ale szukają gotowego schematu, jaki można by w tej sytuacji zastosować. „Badani trzecioklasiści wykazywali się bardzo wysokim poziomem sprawności narzędziowych ograniczających się do mechanicznego wykonywania obliczeń (na przykład pisemnych), nie radząc sobie jednocześnie w prostych przykładach odwołujących się do strategii niekoniecznie wyćwiczonych na lekcjach.” (A. Kalinowska str. 5) Innymi słowy uczniowie posiadają dobrze rozwinięte narzędzia, których nie potrafią wykorzystać w nowych sytuacjach, a z takimi właśnie będą spotykać się w pozaszkolnych realiach. Innymi słowy, wiedza wyniesiona z lekcji matematyki jest życiowo nieprzydatna, sprawdza się za to na testach, ale tylko w zadaniach opartych na schematach. Testy PISA pokazują, że z nieszablonowymi zadaniami polscy uczniowie sobie nie radzą.
Alina Kalinowska, podobnie jak badacze mózgu i konstruktywiści wiele miejsca poświęca rozumieniu pojęć. „Rozumienie pojęć matematycznych ma swoje źródło w operacjach logicznych wywodzących się z działania na przedmiotach. Szczególnie na poziomie klas najmłodszych jakość rozumienia działań matematycznych, czy relacji między wielkościami matematycznymi w zadaniu tekstowym, jest zdeterminowana ilością i różnorodnością działań dziecka w przestrzeni materialnej. Musi ono oddziaływać na rzeczywistość, dokonywać w niej zmian, żeby mogło następnie odwoływać się do niej.” (A.Kalinowska str. 10) Na rolę bogatego w bodźce środowiska edukacyjnego i na możliwość wchodzenia w różne relacje ze światem realnym wskazują również badacze mózgu (G.Hüther, J. Bauer, A.K. Braun, F.Hutzler, L.Eliot). Neurobiolodzy stopniowo odkrywają zależności między pozornie nieprzydatnymi z punktu widzenia szkoły zajęciami a sukcesem szkolnym. Badania pokazują, że gra na pianinie lub keyboardzie rozwija u dzieci w wieku przedszkolnym rozumowanie przestrzenno-czasowe. Skala muzyczna jest doświadczana przez mózg jako wzór, dlatego ten po wielu godzinach poświęconych grze na instrumencie lepiej radzi sobie również z innymi wzorami. Struktury neuronalne, jakie rozwinęły sie w czasie muzykowania, przydatne są również podczas zajmowania się ułamkami czy geometrią, twierdzi amerykańska neurobiolog Lise Eliot. (Lise Eliot str. 176)
Badacze mózgu podkreślają różnorodność doświadczeń zebranych we wczesnym dzieciństwie, o którą upomina się również Alina Kalinowska. Dlatego rodzice i nauczycielki pracujące w przedszkolach powinni starać się tworzyć środowisko edukacyjne dostarczające różnych bodźców i umożliwiających możliwie różnorodne formy interakcji ze światem zewnętrznym. Im więcej doświadczeń cielesnych w dzieciństwie, im więcej możliwości manipulowania przedmiotami, tym lepsze rozumienie pojęć abstrakcyjnych w późniejszych latach. Budowanie szałasu, podchody w lesie, odnajdywanie kierunku, szacowanie odległości, gra w piłkę, wspinanie się na drzewa, zabawa origami czy dzielenie ciastek między kilkoro dzieci, każda z tych aktywności prowadzi do rozoju innych struktur mózgowych i każda może być przydatna, gdy uczniowie będą poznawać nowe pojęcia matematyczne, czy zajmować się relacjami między nimi.
Wielu nauczycieli wierzy, że uczniowie klas początkowych nie potrafią sami odkrywać pojęć matematycznych. Skutkiem tego uważają, że sami muszą im wszystko wyjaśnić. Zdobywanej w szkole wiedzy nie traktują jako kontynuacji czy przedłużenia wcześniejszych doświadczeń zebranych przez dzieci, ale jako oderwane od realnego życia pojęcia i treści, które da się wyjaśnić za pomocą słów i definicji. Skutkiem niedostrzegania związków między wcześniejszymi doświadczeniami a szkolną wiedzą są poważne błędy w organizacji nauki. Nauczyciele zamiast koncentrować się na planowaniu zadań umożliwiających uczniom zrozumienia określonych zasad czy zależności, sami wszystko wyjaśniają. Na związane z taką postawą niebezpieczeństwo wskazywał już Jean Piaget mówiąc, że wszystko, co robimy za dziecko, pozbawia je możliwości zrobienia tego samemu. Jest to kolejny przekład utrudniania przez ułatwianie. Zdobywanie wiedzy czy nowych umiejętności wymaga określonej pracy, jaką muszą wykonać neurony. Lekcja, na której aktywny jest głównie nauczyciel, a zadaniem uczniów jest słuchanie i podążanie jego śladem, nie aktywizuje mózgu. Aby w pełni wykorzystać potencjał uczniów, trzeba wciąż stawiać przed nimi nowe, intrygujące zadania, które, czasami z pomocą nauczyciela, będą w stanie rozwiązać.
Dzieci, które próbowały kiedyś podzielić 18 cukierków na pięcioro dzieci, odkrywają relacje podzielności, choć nie nazywają tego dzieleniem z resztą. „Dzieci nieskończenie wiele razy dokonują podobnych manipulacji, w których dzielą w sensie matematycznym, na przykład układają talerze po obu stronach stołu i zastanawiają się, czy może być po równo, jeżeli do stołu zasiądzie 7 osób. Takie z kolei doświadczenia kształtują pojęcie parzystości liczb. Dziecięce eksplorowanie świata jest polem doświadczalnym dla kształtowania się pojęć matematycznych.” (A Kalinowska str. 14) Takie doświadczenia pozwalają im zrozumieć sens dzielenia duże lepiej niż nawet najlepsze wyjaśnienia nauczyciela.
Osoby uczące matematyki w klasach I-III powinny wiedzieć, że rozumienie pojęć matematycznych powstaje w oparciu o wiele różnorodnych doświadczeń, które dzieci zebrały we wcześniejszych latach. Ich mózgi nie są pustymi kubełkami, do których można przelać odpowiednie porcje wiedzy. W szkole trzeba zadbać o to, by proces konstruowania wiedzy mógł rozwijać się harmonijnie. Zadanie polega na połączeniu wprowadzanej na lekcjach terminologii ze światem zebranych wcześniej doświadczeń cielesnych. Zbyt szybkie wejście na poziom symboli i abstrakcyjnych pojęć nie sprzyja konstruowaniu połączeń między tym, co wprowadzone zostało w szkole, a tym, czego dzieci doświadczały wcześniej. Dlatego nie powinno się zabraniać dzieciom dokonywania obliczeń na konkretach, gdy one same chcą jeszcze liczyć w ten sposób. Ale nie wolno również zmuszać dziecka, które dodaje w pamięci, by najpierw dopełniało do pełnej dziesiątki.
Przykład: 7 + 8 = (7 + 3) + 5 = 15
Wszelkie schematy jedynie utrudniają mózgowi pracę. Dzieci mają różne doświadczenia, a skutkiem ich mózgi dysponują różną siecią neuronalną. Dlatego stosują różne strategie rozwiązywania zadań i nieco inaczej rozumieją omawiane na lekcjach matematyki pojęcia. Jednym z błędów popełnianych przez nauczycieli jest ignorowanie tych indywidualnych strategii i sposobów rozumowania. Jeśli matematyka ma rozwijać myślenie, to nowe pojęcia nie mogą być, jak to się dziś często dzieje, zawieszone w próżni. Fakt, iż dziecko potrafi powtórzyć definicję, podać zasadę lub mechanicznie zastosować algorytm, nic nie mówi o tym, czy rozumie problem. Bez zrozumienia można wprawdzie dobrze wypaść na testach, ale taka „wiedza” jest zupełnie nieprzydatna w pozaszkolnych realiach. Nauczyciele wierzący, że uczniowie wiedzą tylko to, co zostało już „przerobione” na lekcjach zamykają im drogę do sukcesu. Myślenia nie można rozwijać poprzez mechaniczne stosowanie algorytmów. Jeśli celem matematyki ma być rozwijanie myślenia, to trzeba jej uczyć inaczej! Uczniowie nie powinni w szkole słuchać, ale samodzielnie myśleć, twierdzi zajmujący się dydaktyką matematyki Mirosław Dąbrowski. A nauczyciele powinni im stworzyć środowisko, które to umożliwi. Celem nie są zatem algorytmy, ale heurezy. Ale o nich napiszę już innym razem. Kontynuując temat chciałabym też napisać tekst o tym, czy można przeciążyć mózg przedszkolaka. Badania neurobiologów dostarczają niezwykle ciekawych wniosków. Anna Katharina Braum, profesor neurobiologii rozwojowej z uniwersytetu w Magdeburgu twierdzi, że prawdziwym zagrożeniem jest niedocenianie potencjału dzieci i sprowadzanie ich do poziomu, na którym nie chcą pracować. Nauczyciele widząc mizerne efekty sądzą, że zadania są dla ich uczniów zbyt trudne, podczas gdy w rzeczywistości są zbyt nudne. Alina Kalinowska dostarcza w swojej książce licznych prykładów potwierdzających prawdziwość tej tezy.
Życzę wszystkim dobrych i niespiesznych Świąt Wielkanocnych, znalezienia czasu na to, co dobre i ważne, a także dużo dobrej energii!
Informacja dotycząca mojej książki „Neurodydaktyka. Nauczanie i uczenie się przyjazne mózgowi”
Ponieważ na rynku jest jeszcze inne wydanie „Neurodydaktyki” informuję, że prawa do mojej książki ma jedynie Wydawnictwo Naukowe UMK i tylko pod zawartymi w tej książce tezami mogę się podpisać. Za błędy zawarte w innym wydaniu, nie ponoszę odpowiedzialności. Swoim nazwiskiem firmuję jedynie „Neurodydaktykę” z pokazaną tu okładką. Jeśli ktoś chce przeczytać MOJĄ książkę, to proszę korzystać z wydania z granatowym profilem twarzy. Ustawa o prawie autorskim i prawach pokrewnych stanowi, iż to autor odpowiada za treść i formę swojego dzieła. Ja miałam wpływ jedynie na formę i treść książki wydanej przez Wydawnictwo Naukowe UMK.
Kiążkę można kupić przez internet np. tu:
http://www.kopernikanska.pl/prod_193628_Neurodydaktyka_Nauczanie_i_uczenie_sie_przyjazne_mozgowi.html
tel.: 792 688 020
e-mail: kontakt(at)budzacasieszkola.pl
Odwiedź nas również na Facebooku
facebook.com/budzacasieszkola/
Edukacja jest oparta na kłamstwie. Co daje uczenie się matematyki ? Pewnie większość ludzi odpowie, że matematyka uczy myślenia. Taka jest deklaracja – a jak jest w praktyce szkolnej ? Uczenie polega na realizacji programu przy użyciu podręczników, kart pracy, testów próbnych, itp. Z jaką myślą idzie na lekcję nauczyciel – że będzie uczył zrozumienia pola i jednostek powierzchni, że wprowadzi nowe zagadnienie spokojnie, wykorzystując naturalną ciekawość uczniów i ich skłonność do aktywnego działania ? – Nie sądzę żeby tak myślał typowy nauczyciel. Jego cel jest prosty: jak najszybciej przeskoczyć pojęcie pola powierzchni, jak najszybciej rozwiązać na tablicy jak największą ilość zadań, jak najwięcej zadać do domu, wykonać jak najwięcej zadań ćwiczebnych i powtórzeniowych i zakończyć to wszystko sprawdzianem. Następnie zrobić sprawdzian poprawkowy. Wszystko po to, żeby uczniowie mieli jak najlepsze stopnie.
Marzena wskazuje na zbiurokratyzowanie i sformalizowanie procesu nauczania. Tak, ten proces często przypomina raczej szkolenie, a nie nauczanie-i-uczenie się. Szkolenie matematyczne – to ci dopiero heca ! Matematyka jest dla większości nauczycieli i uczniów jest narzędziem do zdobywania ocen, zdawania testów, przekraczania kolejnych szczebli edukacji na czele z maturą. W najlepszym przypadku uczeń może usłyszeć: matematyka jest przydatna i konieczna na kierunkach technicznych i ekonomicznych. – Do czego ? – Do zaliczania kolokwiów i egzaminów. W szkole nie myśli się o matematyce jako o narzędziu rozwoju umysłowego, elemencie kultury, narzędziu badania i poznawania świata. Matematyka traktowana jest bardzo utylitarnie, więc po co nauczyciel ma zastanawiać się nad myśleniem i zrozumieniem ? Czy ktoś go o to prosi ?
„Dlatego oczekiwanie od uczniów, by siedzieli, słuchali i powtarzali to, co powiedział lub zademonstrował nauczyciel, blokuje proces uczenia się.”
Ale czy nauczyciel nie jest w podobnej sytuacji ? Jak wyglądają posiedzenia rad pedagogicznych, o czym się na nich debatuje ? W jakim stopniu nauczyciel może być organizatorem i twórcą procesu edukacji, a w jakim tylko wykonawcą i szkoleniowcem ?
„Jeśli celem matematyki ma być rozwijanie myślenia, to trzeba jej uczyć inaczej! Uczniowie nie powinni w szkole słuchać, ale samodzielnie myśleć i jak twierdzi Mirosław Dąbrowski, działać.”
Ale jak testować uczniów uczonych według tych postulatów ? Jak miałaby wyglądać matura z matematyki ?
Wiesławie, zdecyduj się. Czy to dobrze, że Marzena pisze takie teksty, opierając się na badaniach OBUT, czy mamy protestować, zbierać podpisy i co tam jeszcze przeciwko badaniom OBUT?
Xawery. Kapitalnie !!! Sprowokowałeś, chcący lub niechcący, fundamentalne pytanie: przeciw czemu chciałbyś zaprotestować ? Możemy zrobimy taką wspólną akcję, tak jak kiedyś napisaliśmy wspólnie o celach edukacji.
Odpowiadam na gorąco i bez zastanowienia: protestuję przeciwko brakowi alternatyw w edukacji państwowej = przeciwko bezczelnej, aroganckiej i ordynarnej pewności siebie ludzi zarządzających edukacją = przeciwko brakowi wątpliwości tych ludzi.
Marzena niech pisze. OBUT niech bada. Ja głosuję za pluralizmem, wielotorowością, wielowymiarowością, różnorodnością.
Xawer,
wszystko zależy od tego, czy OBUT traktujemy jako badanie czy też jako obowiązkowy test, któremu poddawane jest każde dziecko i pod którym każde musi się podpisać.
Badania w edukacji są oczywiście potrzebne i niezbędne! Ale żeby mieć ogląd sytuacji wcale nie trzeba testować wszystkich dzieci i wystawiać im na tej podstawie cenzurek (w formie stopni, punktów czy jakiejkolwiek innej).
Myślę, że system edukacyjny potrzebuje więcej badań (ale nie takich jedynie mierzących efekty jakiegoś dowolnego sposobu nauczania) i że pieniądze na te porządne badania można uzyskać rezygnując z testowania, bo jak wiadomo, od mierzenia nikt nie rośnie!
Pytasz: „Jak miałaby wyglądać matura z matematyki ?”
Inaczej niż dziś 🙂
Aby cokolwiek zmienić w systemie edukacji, trzeba zmienić wszystkie jego elementy. Osoby przygotowujące zadania z matematyki do OBUTa stosują wiele zadań, które sprawdzają myślenie. Ale to nie zmienia sposobu, w jaki w szkołach uczona jest matematyka. Zmiana jednego wybranego elementu jest dalece niewystarczająca.
Dzieci w podstawówce nie myślą jeszcze abstrakcyjne ( czyli nie są wstanie myśleć pojęciowo, nie są w stanie rozumieć prawdziwej matematyki czy pojęć prawnych czy ekonomicznych ). Dlatego matematyka w szkole to matematyka na konkretach i nie wydaje mi się że można tu coś zmienić. Zdolność myślenia abstrakcyjnego osiąga człowiek w wieku ok 13 lat. Cała ta sytuacja w ogóle dotyczy całego systemu edukacji , włącznie ze studiami wyższymi ( chodzi mi tu o kierunki inżynierskie i ekonomię ) to tylko nauczenie się schematów, pewnego toku rozumowania, rozwiązywanie schematu schematy wzór ,dane , rozwiązanie. Żadnego większego myślenia. Ludzie mają problem z matmą bo są źli nauczyciele, ludziom nie chce się uczyć i bark im przed wszystkim systematyczności, która w matmę jest niezbędna.
@ Lucjan
Napisał Pan: „Dzieci w podstawówce nie myślą jeszcze abstrakcyjne ( czyli nie są wstanie myśleć pojęciowo, nie są w stanie rozumieć prawdziwej matematyki czy pojęć prawnych czy ekonomicznych ).”
Zatem Pana zdaniem droga do „prawdziwej matematyki” jest dla dzieci niedostępna. A gdzie jest granica, po przekroczeniu której potrafią one już myśleć pojęciowo i mogą poznawać prawdziwą matematykę?
Odnoszę wrażenie, że Piaget i mnóstwo powołujących się na niego ludzi używa terminu ‚myślenie abstrakcyjne’ w sposób istotnie różny, od tego, jak jest to rozumiane w filozofii, lingwistyce i matematyce.
Dzieci doskonale posługują się abstrakcjami (wręcz same je tworzą) na etapie uczenia się mówić. Trzyletnie dziecko doskonale rozumie znaczenie słowa ‚pies’ będącego abstrakcją konkretów takich jak ‚Burek’ i ‚Ciapek’. Podobnie rozumie abstrakty matematyczne, choćby arytmetyczne. Poprawnie używa abstrakcyjnego liczebnika ‚trzy’.
Nie trzeba czekać do 13 roku życia, by rozumieć zdania takie jak: „każdy zdrowy pies ma cztery łapy”.
Badaniem tego, jak dzieci rozumieją pojęcia, których używają, zajmował się Wygotski. Proces tworzenia sie pojęć opisał w książce „Myślenie i mowa”. Jego eksperymenty są dla mnie absolutnie genialne. Od czasów Wygotskiego wiemy, że dzieci najpierw używają pojęć, ale na początku różnie je rozumieją. Sam fakt używania określonych pojęć, nie świadczy o ich zrozumieniu. Problem w tym, że w szkole nie sprawdza się, jak uczniowie rozumieją takie pojęcia, jak suma czy różnica. Może robią mechanicznie działania, ale pojęć nie rozumieją?
Robią mechanicznie działania, bo tak są w szkole uczone. Takie są programy (opierające się na tym postpiagetowskim przekonaniu, że nie są zdolne do zrozumienia), a poza tym ich nauczyciele w ogromnej większości nie rozumie sensu dodawania i odejmowania i traktuje je wyłącznie jako tabelki do zapamiętania: „dwa plus pięć to siedem”.
Tymczasem przeciętny pięciolatek, nie skażony jeszcze szkołą, „uczącą go na konkretach” i „pomagającą mu przekroczyć próg stałości liczby” nie ma najmniejszych problemów z rozumieniem istoty dodawania, odejmowania, mnożenia czy dzielenia. Jedyne, czego nie umie (ale i nie ma sensu mu tego wciskać) to stosowania ścisłej terminologii — co próbowało robić New Math i wiemy jak to się skończyło.
Xawer, napisałeś:
„Tymczasem przeciętny pięciolatek, nie skażony jeszcze szkołą, „uczącą go na konkretach” i „pomagającą mu przekroczyć próg stałości liczby” nie ma najmniejszych problemów z rozumieniem istoty dodawania, odejmowania, mnożenia czy dzielenia.”
Według mnie, wszystkie małe dzieci liczą używając do tego palców. Robią to same z siebie.
Tak, też mi się tak wydaje, że palce są naturalnym wzorcem liczb. Wydaje się, że są nawet dla szympansów, nie tylko dla dzieci.
Bardzo dobrze, że dzieci tak liczą. Każdy tak liczy, włącznie z Freggem, Russelem, Hilbertem i Peano… Tyle, że dorośli nie muszą przy tym wyciągać ręki i odginać paluszków, tak samo, jak potrafią myśleć słownie nie gadając na głos sami do siebie. Bardzo trafnie przywołałaś tu Wygotskiego.
Ale to nie przeczy umiejętności abstrahowania.
Wprost przeciwnie: liczenie na palcach, to jest niemalże dokładne powtórzenie konstrukcji liczb całkowitych Fregge’go — tyle, że ze zbiorami palców, jako wzorcami liczb. Palce nie są tu „ukonkretyzowaniem” liczenia, tylko jego ilustracją, tak samo jak dla Ciebie czy dla mnie rysunek konstrukcji okręgu wpisanego w trójkąt nie jest „konkretyzowaniem” tylko ilustracją, ułatwiającą wyobrażenie sobie danej operacji.
Nawet dla bardzo małego (trzylatka) dziecka liczba „trzy” jest abstraktem, pewną abstrakcyjną własnością, aplikowalną w taki sam sposób do trzech palców, trzech jabłek i zbioru: (mama, tata i ja).
Dlaczego tak silnie negujesz to, że dzieci licząc na palcach, liczą na konkretach? Uważasz, że one od samego początku abstrahują? Jeśli dobrze Cię rozumiem, to operacje przeprowadzane na konkretach uważasz za coś gorszego niż abstrahowanie. Czy dobrze Cię rozumiem?
Ani jedno, ani drugie:
1. nie uważam operacji na konkretach (stwierdzenie: Ciapek ma lewą przednią łapę białą, prawą przednią biało-burą, lewą tylną burą i prawą tylną z czarną łatą) za coś gorszego od stwierdzenia abstrakcyjnego (pies ma cztery łapy) za „gorsze” tylko za „inne”. Jedna typy rozumowań/zdań mają sens w jednych kontekstach, inne w innych, żadne nie są ani lepsze ani gorsze.
2. z obserwacji widzę, że nawet kilkuletnie dzieci rozumieją i poprawnie używają w rozmowie zdania abstrakcyjne typu „psy mają cztery łapy”, w których pojęcie ‚pies’ jest odabstrahowane od tego konkretnego Ciapka, a poszczególne łapy są odabstrahowane od koloru futra na nich.
I na tej podstawie uważam za błędne twierdzenia typu „dzieci nie potrafią operować abstrakcjami”
W kwestii palców == liczeniu na konkretach.
Sądzę, ze jest to spór terminologiczny, który jednak jest później często przekładany na zalecenia praktyczne.
Twierdzę jednak, że nawet małe dziecko, licząc na palcach, ile to jest dwa jabłka plus trzy jabłka, nie „liczy na konkretach”, tylko używa palców jako protezy pamięci krótkotrwałej po to, by nie zapomnieć wyniku cząstkowego, liczonego metodą Peano (2+3 = 3+2 = 4+1 = 5 bingo!), gdzie palce służą wyłącznie dla zapamiętania wyników cząstkowych. A bardzo małe dziecko używa tych palców jako fregge’owskiego wzorca liczby, by doliczyć się, że trzy jabłka na stole są trzy.
Dziecko, licząc na palcach ile jest jabłek, nie liczy palców (to jest tylko narzędzie), ani nawet nie liczy symbolicznych przedstawień jabłek (palec symbolizuje jabłko), tylko liczy na abstrakcyjnych liczbach, które wygodnie mu zilustrować palcami.
Widzę w tym nie „operację na konkretach”, a opisywane przez Wygotskiego „myślenie na głos”, które w przypadku liczenia przybiera formę nie werbalną (gadania do siebie) tylko ilustracyjną: odginania paluszków.
Ale nawet najmniejsze dzieci (trzylatki) potrafią poprawnie abstrahować pojęcie liczb od obiektów, a w szczególności używają poprawnie liczebników. Nawet dla trzylatka jest oczywista równoważność pomiędzy operacją rozdzielenia dwóch cukierków pomiędzy dwoje dzieci, a dwóch mandarynek. Trzy- czy czterolatek wie, że trzech mandarynek nie da się podzielić po równo pomiędzy dwoje dzieci, ale wie to w abstrakcji od rodzaju przedmiotów, jakie należy podzielić — choćby nigdy dotąd nie dostawali z bratem śliwek, to i tak wie z góry, że trzech śliwek też nie da się rozdzielić po równo.
To jest właśnie myślenie abstrakcyjne: on wie, że trzech czego-by-one-nie-były nie da się rozdać po równo pomiędzy dwójkę osób.
Tak naprawdę chodzi mi o dwie rzeczy:
1. terminologię — nie pasuje mi nazywanie liczenia na palcach „liczeniem na konkretach”, tak samo, jak nie pasowałoby mi nazywanie „liczeniem na konkretach” tego, że student politechniki zapisuje sobie na kartce ciąg przekształceń algebraicznych, wyprowadzając jakiś wzór.
Ale bardziej nawet o:
2. postpiagetowski postulat, że „dzieci nie rozumieja abstrakcji”, z którego wyciaga się wnioski, że dzieciom nie można tych abstrakcji pokazywać, a trzeba im kazać dodawać „dwa jabłka i jeszcze trzy jabłka”. Oczywiście, jesli nigdy dziecku się nie powie (ani w szkole, ani w domu, ani w telewizorze), że można po prostu dodać dwa do trzech, to nie będzie rozumiało tej abstrakcji. Jeśli mu tysiąc razy zadamy problemy „dwa psy i trzy psy, ile psów?”, „dwa jabłka i trzy jabłka, ile jabłek?” to po takiej tresurze na pytanie „dwa i trzy to razem ile?” odpowie pytaniem „ale dwa czego?”
Tymczasem dzieci, których rodzice nie czytali Piageta tylko Euklidesa i rozmawiaja ze sobą nie bojąc się abstrakcji, nie mają najmniejszego problemu z odabstrahowaniem tego czegoś w „dwa coś i trzy coś, ile cosiów?”
Ten postulat „wszystko na konkretach” prowadzi do potwornego spłycenia i zabijania dzieciecej wyobraźni. Wybijamy dzieciom z głowy trójkąty i koła, a zamiast tego dajemy im trójkątne i okrągłe ciasteczka. Co — i owszem — smaczne, ale zabijające wyobraźnię. Tymczasem dzieci mają zazwyczaj tej wyobraźni dużo więcej i dużo bardziej zdolnej do abstrahowania i myślenia symbolicznego i abstrakcyjnego, niż ich opiekunowie. I szkoła robi co może, żeby te zdolności wytępić, sprowadzając każde myślenie symboliczne na ziemię, do parteru, trywializując je konkretem i odzierając z możliwości tworzenia uogólnień. A dzieci właśnie to chciałyby robić!
Dokładnie tak. Tym sposobem dzieci bawią się, budują szalasy dzielą ciastka, ale biada nauczycielowi zrobić rzecz PODSTAWOWĄ-uczynić uogólnienie i formalizację jako podsumowanie!czyli reasumację całości-dla całej klasy!Tym sposobem w wieku 13 lat mamy dzieci, które nie mają pojęcia o abstrachowaniu i uogólnianiu i tego nikt już nie nadrobi.Pomijając fakt że na „zabawy” jednemu potrzeba 15min, a drugiemu4 godziny-żeby „wpadł” na zasadę-a niestety jestaśmy w szkole i godzinki płyną…Poza tym, za moich czasów(stara matura) uczono nas, jak z tego wynika: karygodnie i skandalicznie ,w sformalizowany sposób-a jednak to wtedy naszych inzynierów ceniono poza granicami kraju, a teraz nawet stadiony w całości podobno się nie trzymają…Ponadto do myślenia i dedukowania potrzeba choćby minimalnych danych, wiedzy i wzorców, bo na czymś trzeba te operacje myślowe przeprowadzać-żeby samemu formalizować i uogólniać. Mam takie wrazenie z wypowiedzi autorki, ze jedyną dobrą forma byłoby odkrywanie matematyki od podstaw na nowo przez każdego ucznia-to bzdura-zajęło to pokoleniom kilkaset, kilka tysięcy lat-teraz chcemy, by każdy uczeń przeszedł tą drogę samodzielnie i w całośći???!!!Oczywiście zaczynać trzeba od konkretów,ale uogólnienie i abstrakcja musi nastąpić i nic w tym złego NIE MA.
Pani Doroto,
nie wiem, na jakiej podstawie wyciąga Pani wniosek, że na lekcjach, na których pozwala sie dzieciom myśleć i działać, nie ma miejsca na abstrahowanie, syntezę czy analizę. Nie wiem też, dlaczego uważa Pani, że powinien to robić nauczyciel. Alina Kalinowska autorka ksiżąki „Pozwólmy dzieciom działać – mity i fakty o rozwijaniu myślenia matematycznego” nie jest teoretykiem, a praktykiem. Przez wiele lat pracowała i razem z z Pani imienniczką Dorotą Klus-Stańską prowadziła badania. Prof. Klus-Stańska założyła w Olsztynie eksperymentalną Autorską Szkołę Podstawową „Żak”, (1994 – 2002) i tam wypróbowane zostałe metody opisywane przez obie panie w ich publikacjach. Uczniowie Żaka nie tylko zachęcani byli do myślenia i działania, ale również do samodzielnego wyciągania wniosków, do syntezy i analizy.
Wiele osób jest przekonanych, że uczniowie potrafią tylko to, czego wcześniej nauczyli sie w szkole. To nieprawda, przekonuje A.Kalinowska na podstawie własnych doświadczeń i badań. To nieprawda, mówią badacze mózgu. Nasze potoczne wyobrażenia o tym, jak przebiegają procesy uczenia się, są błędne. Dlatego tak ważne jest popularyzowanie wiedzy o sposobie funkcjonowania mózgu, szukanie alternatywy dla obecnego modelu edukacyjnego i PROWADZENIE PRAWDZIWYCH BADAŃ tam, gdzie nauka się odbywa, czyli w szkolnych klasach. Bez takich badań, niektórzy nigdy nie uwierzą, że dzieci w odpowiednich warunkach zdolne są i do samodzielnego wyciągania wniosków, do syntezy i analizy. Mózgi małych dzieci w sprzyjających warunkach zdolne są do niesamowitych rzeczy 🙂
Pisze Pani, że kiedyś dobrze uczono matematyki, a nasi inżynierowie byli cenieni poza granicami Polski. Proszę powiedzieć, jaki procent Pani rocznika lubił i rozumiał matematykę czy fizykę? W czasach, gdy ja się uczyłam, na studia szkło 7% populacji. Ilu z nich na studia związane z kierunkami ścisłymi, nie wiem. Pamiętam, że fizyka była wtedy tzw. „kierunkiem deficytowym” i szli tam wszyscy, którzy nigdzie nie zdali, a chcieli uchronić się przed wojskiem. Czy działo się tak dlatego, że przedmiotów mat.-fiz. uczono dobrze?
A przede wszystkim mówienie że matematyka jest trudna a wymaga tylko pracy, każdym możne jej się nauczyć, nawet ktoś niezbyt lotny. Szczególnie na poziomie podstawówki i liceum i studiów technicznych. Bo matematyka na studniach matematycznych ( którą mam przyjemność poznać )to zupełnie inna szkoła jazdy, ale też nawet przeciętny człowiek z dobrą motywacja da radę.
Poczytajcie Domana „How to teach your baby math” i inne jego książki. I spróbujcie zastosować zdobytą wiedzę nie w podstawówce tylko na Niemowlakach. Kiedy Wygotski czy Piaget badali to co badali takich pomysłów nikt nie miał i dlatego w ich badaniach one nie występują. Ale już troche lat minęło i ich pomysły są przeterminowane. Liczenie na palcach tak samo nie jest naturalne dla Dzieci jak wszystkie szkolne cuda wymyślone chyba jedynie dla podtrzymania systemu oświaty. Dzieci liczą na palcach bo tak się uczą od dorosłych. Od dorosłych, którzy nie rozumieją matematyki i potrzebują wsparcia narzędziowego i schematów. Jeżeli zaczniemy pokazywać Dziecku matematykę od pierwszego dnia życia to będzie liczyć w pamięci błyskawicznie (np w wieku 8 miesięcy) i znacznie dalej niż 10 czy 10.000,00 i palce będą mu przeszkadzać. Dziecko potrafi nauczyć się liczyć znacznie wcześniej niż potrafi nauczyć się ruszać palcami. Do rozumienia matematyki potrzebny jest przede wszystkim mózg a dodatkowo zmysły, najczęściej wzrok i słuch chociaż niekoniecznie – można braillem. Dziecko ma to wszystko zanim się urodzi. Palce nie są potrzebne. Dotykanie kasztanów leżących w szeregu też nie. Liczenie na palcach kojarzy mi się jedynie z zacofaniem. Nie tylko matematycznym. Wymyślił je chyba Komenski jakiś czas temu. To taki sam pomysł jak to, że drugą dziesiątkę wprowadzamy w życie człowieka jak stanie się dorosły czyli na dzisiejsze czasy byłoby w wieku 18 lat.
Panie Krzysztofie,
niemowlaki rzeczywiście potrafią liczyć. Chciałabym napisać o tym w jednym z kolejnych wpisów. Książki Domana nie znam, ale jest dla mnie oczywiste, że podstawa programowa dla przedszkolaków ogranicza potencjał dzieci.
Sama mam za małe doświadczenie, by stwierdzić, czy dzieci w naturalny sposób liczą na palcach, czy to dorośli narzucają im taki sposób. Faktem jest, ze niemowlęta umieją liczyć i robia to w oparciu o doświadczenia zmysłowe, bo niby jak miałyby to robić inaczej.
Xawer,
jeśli nie podobają Ci się pewne określenia, to trudno coś na to poradzić. Takie określenia używane są w literaturze przedmiotu. Chodzi o to, że proces uczenia się dziecka przebiega od konkretu do abstrakcji, a nie odwrotnie. Jeśli niemowlę dodaje, to dodaje np. to, co widzi, bo przecież słów jeszcze nie zna. Więc dodaje do siebie klocki lub piłki.
Proces uczenia się ma zatem podłoże cielesne i zmysłowe i dopiero w oparciu o nie mogą powstawać abstrakcje.
Podstawa to – podstawa.
Nauczyciel obserwuje, wzbogaca, indywidualizuje, dostosowuje – a przynajmniej powinien.
Sądzę, że utożsamiasz „abstrakcję” z „werbalizacją”.
Jeśli tak, to nie ma o czym dyskutować, bo w oczywisty sposób nikt, kto nie używa słów nie jest zdolny do werbalizowania.
Ja twierdzę tylko (coś zbliżonego do tez Domana), że myślenie matematyczne u dzieci rozwija się w tym samym wieku, co myślenie językowe i nie jest ani trochę bardziej „konkretne”, niż myślenie językowe. Nawet najmniejsze dzieci potrafią używać uogólnień, uniwersaliów, przymiotników, etc.
Powtórzę: zdolność do używania abstrakcyjnego liczebnika „trzy” pojawia się na takim samym etapie rozwoju, co zdolność do używania równie abstrakcyjnego przymiotnika „zielony”.
Dziecko w mniej więcej tym samym wieku potrafi odabstrahować zieloność od konkretów liścia i żaby, co „trzy” od konkretów „mama, tata i ja” i „dwie rączki i noga”, albo uniwersalium „pies” od Ciapka i Burka.
Nie jest to spór czysto leksykalny, bo o ile nie uczymy dzieci posługiwać się przymiotnikami, każąc im wyobrażać sobie żaby za każdym razem, gdy pada słowo „zielony”, o tyle pedagogika postpiagetowska każe im dodawać „trzy jabłka” do „dwóch jabłek” zamiast po prostu trzy do dwóch. Nie każemy dzieciom uzupełniać „konkretem” każdego przymiotnika, ale każemy im tak uzupełniać liczebniki. To rozróżnienie nie ma najmniejszych podstaw.
Z Krzysztofem (i Domanem) nie zgodzę się w jednej kwestii: odrzucenia naturalności liczenia na palcach. Z jednej strony nie uważam, że liczenie na palcach jest „liczeniem na konkretach” ani że jakkolwiek przeszkadza w rozwoju pojmowania matematyki. Wprost przeciwnie, uważam to za naturalne dla poznającego świat umysłu stworzenie sobie arytmetyki niemalże tak samo, jak zrobili to (w sformalizowany i wyczyszczony z palców sposób) Frege z Russellem.
Z drugiej jednak strony posługiwanie się palcami obserwuję również u dzieci, których rodziców nikt by nie podejrzewał o uczenie swoich dzieci czegokolwiek. Widziałem też film o szympansach, które dostawały zadanie na zapamiętanie liczb (by zarobić na banana musiały nacisnąć tyle przycisków, ile kółek wyświetlone było na ekranie, ale przyciski były za ścianką, więc musiały zapamiętać, ile ich było) – i tu szympansica używała palców — by było śmieszniej: u nóg — jako tej protezy pamięci liczbowej.
Nie Xawer, nie utożsamian abstrahowania z werbalizowaniem. Mówię tylko, że matematyzowanie świata odbywa się w oparciu o doznania cielesne.
Napisałeś:
„Powtórzę: zdolność do używania abstrakcyjnego liczebnika „trzy” pojawia się na takim samym etapie rozwoju, co zdolność do używania równie abstrakcyjnego przymiotnika „zielony”.”
Skąd Ty czerpiesz tę pewność? Mnie jej zawsze brakuje, bo przecież to najtrudniejsza materia z wszelkich możliwych.
Z obserwacji behawiorystycznej.
Ze (sporadycznego) obcowania z trzy- czy czterolatkami. U żadnego dziecka, z jakim miałem do czynienia, nie zauważyłem jakiegokolwiek opóźnienia w używaniu liczebników (oczywiście małych) w porównaniu przymiotnikami czy uniwersaliami.
Popatrz sama i wyobraź sobie na podstawie własnych kontaktów z dziećmi:
dziecko w jakim wieku rozumie w pełni abstrakcyjne zdanie „pies ma cztery łapy” jako odnoszące się do każdego możliwego do pomyślenia psa, a nie do Ciapka?
Tu i „pies” i „cztery” i nawet „łapy” są abstrakcjami.
Ale nawet jeśli dziecko odniesie do zdanie do Ciapka, to skonkretyzuje tylko uniwersalium „pies”, bo gdyby jednocześnie skonkretyzowało liczebnik „cztery” to zdanie utraciłoby sens, przekształcając się w tautologię: „Ciapek ma tyle łap ile ma”.
Powiem więcej. Mój pięciolatek, kiedy zaczynał mówić, mówił „kaka” na ptaki (wszystkie) i poprawne „koń” na konia. Prawie wszystkie inne czworonogi, w tym np. psy były „nie-koń”. Strasznie dużo jest „nie-koni”, nawet nie wiedziałem, ponieważ nie byłem świadomy istnienia akurat tej klasy abstrakcji. Spora część dziecięcych błędów językowych – chyba większość, na ile mogę wierzyć własnym obserwacyjnym wrażeniom – bierze się ze zdolności do tworzenia abstrakcji i znajdowania abstrakcyjnych analogii. Jeśli dziecko „kołowaty”, zamiast „okrągły” lub „kołowy”, to dlatego, że sobie to słowo stworzyło np. przez bliską analogię do „jajowaty” – wymyślanie słów i pojęć zdarza się u dzieci moim zdaniem zdecydowanie częściej niż innego rodzaju błędy, polegające na myleniu końcówek, przypadków, rodzajów itd.
O tyle fajne są te „wczesnowerbalne” dziecięce próby myślenia, że dzieci są przykładami osób, które znają więcej pojęć niż np. słów. Z wiekiem to im przechodzi i człowiek dorosły o zasobie słów ograniczonych do 300, zna niestety właśnie tyle pojęć (z dokładnością do tego np., że słowami nie nadającymi się druku da się, jak wiemy, wyrazić cały kosmos pojęć, z czego ludzie nader chętnie korzystają, więc w rzeczywistości nie ma tu relacji 1 : 1). Wiadomo również, że ta cecha dorosłych osobników nie jest wynikiem nadużywania kanału werbalnego – dorośli osobnicy wśród Indian, Eskimosów itd. niestety miewają podobne leksykalne ograniczenia w myśleniu, choć ich kanałów werbalnych nikt specjalnie nie nadużywał, nie chodzili do szkół itd.
Kłakówna zwróciła mi uwagę na jeszcze jeden problem związany z dziecięcym myśleniem i tym, co o nim wiedzą dorośli. Otóż oczywiście, kiedy pytamy dziecka, ile to jest dwa plus jeden, dziecko na ogół rozumie z tego, że pytamy szczerze. To jest, że nie wiemy. Dzieci nie lubią odpowiadać na głupie pytania, ale co gorsza sam fakt, że ktoś je pyta o rzeczy oczywiste, rodzi w nich podejrzenie, że one wcale oczywiste nie są. Istotnie w takim kontekście – obserwowałem to wielokrotnie – dzieci uciekają w świat patyczków i paluszków, bo to im przywraca pewność, że świat nagle nie stanął na głowie.
Cielesne, niecielesne – werbalne, niewerbalne: dorośli przede wszystkim rzadko zdają sobie sprawę z tego, że rzeczywista treść pytania, ile to dwa plus jeden jest w umyśle dziecka nieporównanie bogatsza i donioślejsza w konsekwencje niż sam – często dla dziecka oczywisty – rachunkowy problem. W tej treści mieści się to, że pani ma prawo pytać, a dziecko musi odpowiedzieć (to nie tylko dla dziecka nie jest oczywiste, bo powinno być nieoczywiste również dla nas), że pani wie lepiej itd. Tego rodzaju błędy kompletnie nie zależą od „medium”.
Czy każde „jeden” – będące składnikiem trzech – jest sobie równe? Dziecko liczące jabłka – małe zielone, duże czerwone i żółte z plamką od obicia – protestuje, że trzy – czyli jeden i jeden i jeden – to wcale niekoniecznie np. jednakowe żółte kwadraty? Jak przejść od takiego konkretu do abstrakcji liczby – jeśli faktycznie w owej abstrakcji każde jeden w każdej liczbie jest sobie równe.
To dobry przykład na to, jak inaczej myślą dzieci i co może być dla nich przeszkodą w przechodzeniu od świata ich cielsnych doznań, do świata abstrakcji. To jest stopniowy proces „dojrzewania” do rozumienia abstrakcji.
Znajoma nauczycielka ucząca opowiadała mi, że analizowała z dziećmi sytuację, w której Jaś znajdował się w jadącym pociągu. Zadania nie pamiętam, ale pytanie brzmiało: „Jak szybko poruszał się Jaś względem peronu?” Odpowiedź ucznia: W ogóle się nie poruszał, siedział sobie spokojnie w tym pociągu.”
Gerald Hüther mówi, że trawa nie rośnie szybciej, gdy się za nią ciągnie. To zdanie wydaje mi się niezmiernie ważne. My dorośli często nie mamy szacunku dla tego wewnętrznego programu rozwoju dzieci.
Dużo o tym myślę – to jakaś sprzeczność jest w ogóle, którą my dorośli jako oczywistość umiemy zaakceptować.
Bo trzy konkretne – np. letnie bluzki – nie muszą być takie same 🙂
Nawet jako elementy zbioru bluzek.
Nie ma tu żadnej sprzeczności!
Elementy zbioru zawsze są każdy inny, są unikalne. Ten sam element nie może należeć do zbioru więcej, niż raz. Elementy mogą być podobne do siebie, mogą mieć jakieś cechy wspólne, ale czymś zawsze muszą się różnić, choćby położeniem na stole, jeśli liczymy identyczne monety, a nie jabłka.
Jeśli weźmiesz jedną bluzkę w lewą rękę, a w prawej trzymasz jabłko, to ‚jeden’ w odniesieniu do bluzki nie ją samą oznacza, a liczność zbioru bluzek, jakie tam trzymasz. Podobnie ‚jeden’ o jabłku.
Ze słowem ‚jeden’ jest dodatkowy problem (jeszcze silniejszy w angielskim czy niemieckim), że może być użyte jako zaimek. Ekspedientka pyta Cię, którą bluzkę podać, a Ty pokazujesz palcem i mówisz: „tę jedną”, co nie jest całkiem poprawne, ale powszechnie używane. (OK, powszechnie używane jest „tą jedną”…)
Ale w wielu językach jest to całkiem poprawne: „this one”.
Gdy dziecko skarży się, że ktoś je uderzył, to zapytane kto, odpowie „jeden taki z III klasy” i bynajmniej nie jest jego intencją powiedzenie, że napastnik był tylko jeden, a że nie zna jego imienia.
Tak naprawdę, to w formalnym ujęciu teorii mnogości, o poszczególnych elementach każdego zbioru nie można powiedzieć zupełnie nic (są całkowicie dowolne) poza jedną, jedyną cechą: są różne od każdego z pozostałych elementów tego zbioru.
Z tym w ogóle nie trzeba przechodzić. Tak samo, jak nie trzeba wcale przechodzić od różnych Burka, Ciapka i Azora do ich klasy abstrakcji, czyli pojęcia (i słowa) „pies”. Podobnie nie trzeba nic robić, by z tego samego zbioru (Azor, Burek, Ciapek) dziecko samo wyabstrahowało liczbę „trzy”.
Wystarczy nie przeszkodzić dziecku w tym naturalnym abstrahowaniu. I nie przechodzić wcześniej od abstrakcyjnego rozumienia liczb do konkretów.
Jeśli dziecko protestuje, że jedno ‚jeden’ jest inne od ‚drugiego’, to znaczy, że już dostało tresurę, każącą mu liczyć na obiektach. Jeśli wbijamy dziecku do głowy, że ‚jeden’ oznacza jabłko, a nie jest własnością zbioru jabłek, to dziecko w końcu to przyjmuje.
Problem, o którym piszesz, nie występuje u dzieci nie chodzących do przedszkola i uczących się liczyć bez specjalnej pomocy, tak samo, jak bez specjalnej pomocy uczą się mówić. Ten problem pojawia się dopiero w przedszkolu czy szkole, gdy dziecko zmuszane jest do używania nienaturalnych form wypowiedzi (nikt dorosły nie mówi: „jedno jabłko, i jedno jabłko i jeszcze jedno jabłko, razem trzy jabłka”) i (jak na to zwróciła uwagę Kłakówna) szuka drugiego dna w takich pytaniach.
Jeśli to samo dziecko poprosisz, żeby przyniosło jabłka tak, żeby było po jednym dla niego, mamy i taty, to przyniesie trzy jabłka i nie będzie roztrząsać o co to mogło ci chodzić każąc nazywać każde kolejne jabłko „jednym”. I nie będzie problemem interpretacyjnym, że jabłka różnią się między sobą, a ludzie też.
W naturalnym językowo i sytuacyjnie kontekście dzieci używają sensownie i poprawnie liczb. Problemy interpretacyjne są tworzone przez nauczycielki, a nie istnieją w dzieciach.
A jeśli już takie problemy się pojawią, to trzeba je odkręcać, tłumacząc (na pojęciowym poziomie dziecka), że liczby nie oznaczają konkretnych przedmiotów, tylko właściwości ich zbiorów. Dokładnie tak samo, jak nazwy kolorów nie oznaczają konkretnych rzeczy i dopóki nie zaczniemy udziwniać pytań, to fakt, że żaba jest zielona i liście są zielone nie stanowi dla dziecka żadnego problemu w rozumieniu i posługiwaniu się słowem ‚zielony’, ani nie dziwi go, że żaba różni się od liścia, choć oba są zielone.
Xawer napisał:
„Jeśli to samo dziecko poprosisz, żeby przyniosło jabłka tak, żeby było po jednym dla niego, mamy i taty, to przyniesie trzy jabłka i nie będzie roztrząsać o co to mogło ci chodzić każąc nazywać każde kolejne jabłko „jednym”. I nie będzie problemem interpretacyjnym, że jabłka różnią się między sobą, a ludzie też.
W naturalnym językowo i sytuacyjnie kontekście dzieci używają sensownie i poprawnie liczb. Problemy interpretacyjne są tworzone przez nauczycielki, a nie istnieją w dzieciach.
A jeśli już takie problemy się pojawią, to trzeba je odkręcać, tłumacząc (na pojęciowym poziomie dziecka), że liczby nie oznaczają konkretnych przedmiotów, tylko właściwości ich zbiorów.”
Grażka, która parcuje w przedszolu, na podstawie własnych obserwacji pisze, że właśnie roztrząsają. Ja z kolei szukam różnych badań i one też potwierdzają tę prawidłowość. Są dzieci, które uważają, że to nie jest w porządku, gdy dodajemy duże czerwone jabłko do małych zielonych. Coś im się w takim dodawaniu nie zgadza, bo patrzą na konkretne jabłka, a nie na abstrakcyjne liczby. Gdyby umiały traktować dodawanie na poziomie abstrakcji, to by się wszystko zgadzało i dzieci by nie protestowały.
Dochodzimy tu do problemu właściwości zbiorów. Grażka pisze, że 3 letnie bluzki mogą należeć do zupełnie różnych kategorii. Czy z tego wynika, że ćwicząc dodawanie powinniśmy z dziećmi rozmawiać o zbiorach? Co możn dodawać do czego? My dorosli uważamy, że wszystko do wszystkiego, wystarczy użyć ogólniejszej kategorii. Tak, tu przecież jest ewidentna sprzeczność, której my dorośli już nie dostrzegamy.
Najbardziej fascynujące jest w tym to, że ten proces dochodzenia do naszego „dorosłego” myślenia jest tak niewyobrażalnie złożony i dlatego tak ważne są badania. Nauczyciele powinni wiedzieć, że proces uczenia się przebiega od konkretu do abstrakcji, a nie odwrotnie.
My dziś tłumaczymy dzieciom w szkole tak proste i zrozumiałe pojęcie jak „odcinek” za pomocą pojęcia „prostej”. Czy ktoś widział kiedyś prostą? A odcinki są wszędzie wokół nas. Mirosław Dąbrowski mówi, że dziecku bardzo łatwo wytłumaczyć, że odcinek, to najkrótsza droga od miejsca, w którym jesteś do mamy, albo krawędź klocka.
Przyjmując założenie, że można iść od abstrakcji do konkretu, nie widzimy problemu w tym, że dzieci uczą się na pamięć definicji prostej i odcinka, nic z tego nie rozumiejąc.
„Są dzieci, które uważają, że to nie jest w porządku, gdy dodajemy duże czerwone jabłko do małych zielonych.”
I mają pełną rację i doskonałą intuicję matematyczną, której brakuje ich nauczycielom.
Nie dodaje się jabłek, tylko liczby.
Te dzieci oprotestowują właśnie tę zbędną, szkodliwą i mylacą „konkretyzację”, jaką od Piageta im się wciska do głów.
Poprawną teoriomnogościową interpretacją „dodawania jabłek” jest postawienie problemu w ten sposób: „mamy zbiór dwóch róznych jabłek zielonych i mamy drugi zbiór trzech różnych jabłek czerwonych. Jaka jest liczność zbioru, będącego sumą teoriomnogościową tamtych zbiorów?”
To pytanie mapuje się na działanie arytmetyczne dodawania, ale wymaga to przyjęcia implicite założenia o abstrahowaniu od natury elementów tych zbiorów. Ponieważ dzieciom nie dano całego tego wyjaśnienia, tylko kazano dodać do siebie jabłka (co nie ma jednoznacznej ani jasnej interpretacji fizycznej), to nic dziwnego, że protestują.
Te same dzieci zapytane jednak poprawnie nie będa protestować. Jeśli na stole położysz jabłko, monetę i postawisz kubek i wazonik, to na pytanie „ile różnych przedmiotów jest na stole” usłyszysz „cztery”.
„My dorosli uważamy, że wszystko do wszystkiego, wystarczy użyć ogólniejszej kategorii.”
Bynajmniej: nie mają najmniejszego sensu wyrażenia „trzy bluzki plus cztery smaki chińskiej wołowiny” ani „trzy kilometry plus dwa kilogramy”.
Tak jak sądzisz uważają tylko ci dorośli, którzy sami zostali ogłupieni przez szkołę i nigdy nie uczyli się matematyki. Ci, którzy matematylki kiedykolwiek się uczyli, wiedzą że dodawać można tylko liczby (i ich uogólnienia, np. wektory), a nie obiekty nimi opisywane. Można też dodawać współmierne wielkości fizyczne, ale z pewnymi ograniczeniami — tylko wtedy, gdy są to wielkości ekstensywne, a operacja ma jakąś bezpośrednią interpretację fizyczną.
Stąd szkodliwym błędem, niszczącym naturalne rozumienie pojęć (albo wprowadzającym dysonans pomiędzy zdroworozsądkowym użyciem pojęć matematycznych a „matematyką szkolną”) jest szkolne „dodawanie jabłek”. Takie sformułowanie nie ma najmniejszego sensu.
„Czy z tego wynika, że ćwicząc dodawanie powinniśmy z dziećmi rozmawiać o zbiorach?”
Nie — na tym polegał błąd New Math.
Ale sami powinniśmy być świadomi takiej teoriomnogościowej interpretacji i rozmawiać z dziećmi w poprawnym kontekście tych liczb, czyli traktując liczby naturalne jako moce zbiorów skończonych, a nie utożsamiać je z jakimikolwiek elementami tych zbiorów.
„My dziś tłumaczymy dzieciom w szkole tak proste i zrozumiałe pojęcie jak „odcinek” za pomocą pojęcia „prostej”.”
Naprawdę tak się robi?
No to mamy kolejny przykład, że całą „nowoczesną” dydaktykę matematyki trzeba wyrzucić do kosza, jako nie tylko utrudniającą dzieciom rozumienie, ale niepoprawną merytorycznie.
Komu to szkodziło, że Euklides definiował prostą jako przedłużenie odcinka, a to odcinek jest w „Elementach” pojęciem pierwotnym?
„Przyjmując założenie, że można iść od abstrakcji do konkretu, nie widzimy problemu w tym, że dzieci uczą się na pamięć definicji prostej i odcinka, nic z tego nie rozumiejąc.”
Problem nie jest w przejściu od „abstrakcji do konkretu” tylko w tym, że sposób, w jaki im podajemy te pojęcia jest niespójny logicznie i sprzeczny z ujęciem w matematyce, a do tego nauczyciele sami nie rozumieją tych pojęć, a jedynie znają (jeśli choć to) wykute na pamięć definicje. Nauczyciele sami nie rozumieją tych „abstrakcji” jakimi się posługują. Nie wiedzą ani co to jest odcinek, ani co to jest prosta, ani co to jest liczba trzy, a ilustrują te pojęcia błędnie.
My też uczyliśmy się w szkole, że odcinek to jest część prostej. Nie pamiętasz?
Piszesz: „I mają pełną rację i doskonałą intuicję matematyczną, której brakuje ich nauczycielom.
Nie dodaje się jabłek, tylko liczby.”
A co my wżyciu realnym robimy, gdy liczymy, ile mamy ciastek w pudełku, kotletów na pateli, czy słoików w szafce?
Z Twoją konstatacją, że nie rozumiemy pojęć, którymi się posługujemy, w pełni się zgadzam.
Co to jest suma?
Co to jest różnica?
Czy ktoś w szkole dyskutował o tym, co można do siebie dodawać?
Tak tylko gwoli przypomnienia, przez ponad 2000 lat naukę matematyki zaczynało się od Definicji:
1. Punkt to coś, co nie ma części;
2. Odcinek to coś, co ma długość, a nie ma szerokości;
3. Końcami odcinka są punkty;
4. Odcinek jest prosty, jeśli jest położony między swoimi końcami w równym i jednostajnym kierunku;
….
a zaraz potem Postulatów:
1. Każde dwa punkty można połączyć prostym odcinkiem;
2. Każdy prosty odcinek można przedłużyć do dowolnej długości;
….
To nie tradycyjna szkoła wymyśliła przechodzenie „od abstrakcji” prostej do „konkretu” odcinka, tylko nowoczesna szkoła narobiła zamieszanie i pomieszała porządek rzeczy, odchodząc od zupełnie abstrakcyjnych (odcinek i prosta są równie abstrakcyjne), ale doskonale zrozumiałych dla dziecka pojęć i zależności pomiędzy nimi.
„My też uczyliśmy się w szkole, że odcinek to jest część prostej. Nie pamiętasz?”
Nie pamiętam. W szkole podstawowej w ogóle nie uczyłem się matematyki, bo nauczyciele okazali się na tyle rozsądni, że dali mi święty spokój.
A w domu studiowałem Euklidesa (patrz wyżej). W liceum Gottwalda też nikt takich głupot nie opowiadał.
„A co my wżyciu realnym robimy, gdy liczymy, ile mamy ciastek w pudełku, kotletów na pateli, czy słoików w szafce?”
Wyznaczamy moc (liczność) pewnego zbioru.
Jeśli liczymy metodą: pokazywania palcem kolejnych obiektów i odliczania przy tym: „raz, dwa, trzy, cztery…siedemnaście”, to stosujemy fregegowską bijekcję pomiędzy badanym zbiorem a wzorcowym zbiorem kolejnych liczb naturalnych bez zera: (1,2,3,4,…17) , a następnie korzystamy z prawa (nie mającego nazwy), że mocą takiego zbioru jest największy z jego elementów (to prawo jest nie tylko oczywiste, ale daje się udowodnić formalnie w trzech linijkach).
Z pewnością jednak niczego nie dodajemy licząc te kotlety.
Swoją drogą nie jest konieczne liczenie i wiele osób (zwłaszcza gospodyń na wsi) odlicza kotlety na patelni (czy nawet wkładając w sklepie ciastka do koszyka): „dla Józka, dla mnie, dla Zosi…” ustanawiając w ten sposób jednoliczność zbioru ciastek ze zbiorem członków rodziny.
„Co to jest suma?
Co to jest różnica?”
Nie. Zresztą nauczyciele sami nie potrafią na to odpowiedzieć inaczej, niż tautologiczną definicją typu „suma to wynik dodawania”. A co to dodawanie? O tym już nie mają pojęcia.
„Czy ktoś w szkole dyskutował o tym, co można do siebie dodawać?”
Oczywiście, że nie, zresztą szkoła z upodobaniem nie tylko nie zwraca uwagi na to, co można, a czego nie dodawać, ale sama dodaje bez sensu w swoich podręcznikach i zadaniach.
Wyzłaszczałem się tu już na to wielokrotnie, choćby: http://osswiata.pl/stojda/2012/03/23/hektar-mlodnika-ma-4000-lat/
Xawer napisałeś:
„Jeśli liczymy metodą: pokazywania palcem kolejnych obiektów i odliczania przy tym: „raz, dwa, trzy, cztery…siedemnaście”, to stosujemy fregegowską bijekcję pomiędzy badanym zbiorem a wzorcowym zbiorem kolejnych liczb naturalnych bez zera: (1,2,3,4,…17) , a …”
„Swoją drogą nie jest konieczne liczenie i wiele osób (zwłaszcza gospodyń na wsi) odlicza kotlety na patelni (czy nawet wkładając w sklepie ciastka do koszyka): „dla Józka, dla mnie, dla Zosi…” ustanawiając w ten sposób jednoliczność zbioru ciastek ze zbiorem członków rodziny.”
A jeśli nie stosujemy fregegowskiej bijekcji? Czy nie mogę powiedzieć, że mam 6 kubków, 4 w szafce i 2 w zmywarce?
To co piszesz oznacza, że matematyka nie ma nic wspólnego z realnym życiem.
„A jeśli nie stosujemy fregegowskiej bijekcji? Czy nie mogę powiedzieć, że mam 6 kubków, 4 w szafce i 2 w zmywarce?”
Możesz tak powiedzieć i będzie to poprawne zdanie.
Rozwinięcie tego zdania jest mniej więcej takie:
„zbiór kubków w szafce zawiera cztery elementy, zbiór kubków w zmywarce zawiera dwa elementy, implicite zakładamy, że nie ma w domu innych kubków, ani że zmywarka nie jest wewnątrz tej szafki, więc oba te zbiory są rozłączne, i dopiero teraz możemy przyjąć, że moc zbioru kubków w domu jest arytmetyczna sumą mocy tamtych dwóch zbiorów, a więc można ją wyliczyć jako tę sumę i powiedzieć, że mam 6 kubków”
Nie dodajesz żadnych kubków! Dodajesz moce zbiorów, co przy dodatkowych, poczynionych implicite założeniach (aczkolwiek oczywistych i naturalnych językowo) pozwala obliczyć moc innego zbioru.
Możesz też podejść do tego nie mnogościowo, a w sensie fizykalnej miary.
Teraz interpretacja Twojego zdania jest następująca:
„Kubki są rodzajem materii, miarą ilości której są sztuki. Materia kubkowa w Twoim domu znajduje się wyłącznie w dwóch skupiskach w rozłącznych obszarach przestrzeni. W jednym z nich, zwanym szafką mamy 4 sztuki materii kubkowej, w drugim, zwanym zmywarką znajduje się 2 szt. materii kubkowej. Kubki, jak każda materia podlegają prawu zachowania ilości materii, więc w całym obszarze, zwanym domem, mamy 6szt=4szt+2szt kubków.”
Teraz też nie dodawałaś kubków, a wielkości mianowane określające ich miarę, liczoną w sztukach.
Zauważ, że obie interpretacje nie mają w sobie „dodawania kubków” a wyłącznie dodawanie liczb (albo wektorów w jednowymiarowej przestrzeni ilości kubków), czego dopuszczalność wynika z przyjętych implicite dodatkowych założeń i wiedzy fizykalnej, takiej jak nieznikanie i niepojawianie się kubków z niczego, rozłączność obszarów przestrzeni, wyznaczanych przez zmywarkę i szafkę, etc.
Tak się przysłuchuję…
Strasznie matematyczne te wywody, a przecież problem z wizualizacją na jabłkach jest niestety rozpatrywany przez dorosłych (przez szanownych wypowiadających się, w dodatku jak zrozumiałam mających pojęcie o matematyce (Pan Xawer :), a niestety sprawa owych nieszczęśliwych jabłek jako liczb nie dotyczy wcale operowania na abstrakcji czyli rozumienia działań tylko dotarcia z informacją do mózgu dziecka (bez zdolności matematycznych!) i wizualizacji nie tyle tych działań a liczb!!!
Dla dzieci mających kłopot z przyswojeniem 2+3 = 5 zastosowana praktyka stara jak świat pozwala na rozumienie nie działania – a konkretnych liczb!
Byłam takim dzieckiem i uczę takie dzieci – bardzo inteligentne, dla których cyfra 3, 5, 6, i dowolna wygląda jak znaczek chiński. Czy ktoś z państwa próbował dodawać znaczki chińskie?
Ja cały czas czekam, na nową matematykę bo tej cyfrowej jak zwał tak zwał nie pojmuję i już! W tej kwestii wiele dzieci ma problem taki jaki mają dzieci dyslektyczne, które nie „rozumieją literek i dźwięków do nich przypisanych” – i wszelki postęp w ich czytaniu odbywa się niejako gwałtem na tym niezrozumieniu.
Anja
Czy ma Pani na myśli dzieci z dyskalkulią?
Nie!:)
Dla mnie dyskalkulia to nieumiejętność liczenia w ogóle – mimo ćwiczeń…
Nieumiejętność zrozumienia liczb polega na niemożności przyswojenia sobie obrazu liczby 3 na liczbę trzy (trochę pokrętnie tłumaczę).
Czyli dla reprezentacji i zrozumienia działań liczba 3 to 3 i tak należy to pojmować – a co gdy mózg przyjmuje informację że 3 to trzy np. słownie – ale nie 3liczbowo!
Znaczek 3 niejako jest przyporządkowany liczbie trzy, czyli równie dobrze mógłby to być dowolny znaczek.
Po prostu dla mózgu humanisty reprezentacja liczby 3 to nie 3 ale np. trzy (słownie lub inaczej wizualnie). Dlatego ćwiczenie na jabłkach mimo tych wywodów o których czytałam wyżej jest próbą dotarcia z info. o liczbie trzy przede wszystkim a nie o działaniu. Niech ktoś spróbuje nauczyć się odejmowania lub innych działań bez wiedzy o przedmiocie (liczby)na którym trzeba je wykonać.
Na powyższe zagadnienie patrzę przez pryzmat postrzegania i psychologii mózgu nie matematyczno-retoryczno-werbalnych abstrakcyjnych dywagacji.
Skądinąd ciekawych, ale niesłusznie potępiających metodę jabłuszek chociażby…:)
Zwracam tylko uwagę, że ta część dyskusji wywołana została uwagą Grażyny, dotycząca przedszkolnych dzieci i pewnego problemu interpretacyjnego, jaki powstał na styku: liczebnik (słownie) — przypisana mu rzecz (jabłko), a nigdzie w nim nikt nawet nie zahaczał o zapis liczb przy pomocy cyfr.
Problem polegał na tym, że dziecko (poprawnie posługującego się słowami — liczebnikami) oprotestowało narzucone mu przyporządkowanie tych liczb przedmiotom.
Bo dzieci wbrew pozorom są bardzo logiczne i proste!
Z prostoty rozumowania wynika, że skoro czegoś jest trzy to trzy równe – nierówność (wyboistość) jest w pojęciu bardziej zaawansowanym i szerszym dostępna dla rozróżniających owe nierówności.
Dlatego np. dzieci intuicyjnie zwracają uwagę, że 2×3 to nie to samo co 3×2. Ja zawsze z tym miałam problem, bo widziałam, że to nie to samo, choć uczono mnie, że wynik jest ten sam. Hm.. Dopiero później dowiedziałam się że istnieje takie mnożenie gdzie wynik nie jest ten sam.
A w ogóle:
Ja tylko zwróciłam uwagę na mały atak na jabłuszka 🙂 – czyli sposób możliwości postrzegania. A tak czy siak następnym etapem jest właśnie ów problem zapisu …i dalszej eduk. matematycznej
Jeśli Pani tak pasują te jabłuszka, to proszę policzyć ile to będzie trzy jabłuszka razy dwa jabłuszka.
Proszę od razu spróbować policzyć ile to będzie trzy czerwone jabłuszka razy dwa zielone. Zgaduję, że wynik wyrażony będzie w jabłuszkach kwadratowych (przyda się nożyk, bo zwykłe jabłuszka są okrągłe, a nie kwadratowe, co rozwiąże przy okazji problem koloru i skórki).
I proszę tez wyjaśnić, skąd Pani wzięła to szóste jabłuszko, skoro miała Pani tylko pięć: trzy takie i dwa inne?
Proszę spróbować z tego wybrnąć tak, żeby ktokolwiek, kto to będzie czytał zrozumiał na czym polega mnożenie jabłuszek przez jabłuszka.
A więc nie zrozumiał Pan, że ja nie atakuję wyższości matematyki nad jabłuszkami! Ja wręcz uważam, że matematyka jest cudowna!
Ja tylko pokazuję jak bardzo trudne jest wytłumaczenie matematyki (używanie cyfr aby możliwe były działania) dla umysłu który tego rodzaju umiejętności nie posiada!
Jabłuszka chociaż w początkowym etapie są wręcz niezbędną wizualizacją!
Mówię o naprawdę początkowym etapie!- Bo o takich dzieciach tu była rozmowa (no i o liczeniu na paluszkach – a przecież nie możemy ich połamać aby pokazać odejmowanie, dzielenie i dalsze wyrafinowane tortury matematyczne!)
Xawery uważa, że wizualizacje są zbędne, a dzieci mogą zaczynać naukę liczenia od abstrakcyjnych liczb. Bez jabłuszek, paluszków czy innych konkretów. Xawer, czy można Twoje przekonania ująć w ten sposób?
Nie.
Twierdzę tylko, że należy cały czas jasno i jednoznacznie rozróżniać pomiędzy liczbami, będącymi własnościami zbiorów obiektów, a obiektami jako takimi.
Tak samo, jak ucząc o kolorach nie utożsamiasz koloru zielonego z żabą, choć zapewne w podręczniku do obcego języka będziesz miała przy okazji słówka „zielony” rysunek żaby. Ale dla słuchacza musi być cały czas oczywiste, że zieleń nie jest tożsama z żabą, a jest jedynie jej własnością. Własnością, która może przysługiwać mnóstwu innym obiektom, od trawy po Twój sweterek.
Natomiast, oczywiście, jestem za tym, żeby cały czas też podkreślać aplikowalność opisu liczbowego do realnych zagadnień otaczającego świata, a w szczególności do wypowiadania się o tym ile czegoś jest.
O liczbach trzeba mówić i traktować je jak przymiotniki, a nie jak rzeczowniki. Niezależnie od reguł gramatycznych, ich logiczna rola w opisie świata jest przymiotnikowa.
Natomiast „szkolna matematyka”, podręczniki i to, co wpaja się nauczycielkom wczesnoszkolnym, to podejście rzeczownikowe.
Trzeba tez pamiętać, że liczby sa własnościami nie indywidualnych obiektów, a ich zbiorów. Jeśli mamy koszyk, a w nim trzy jabłka, to liczba trzy jest własnością nie jabłek, a koszyka (definiującego zbiór).
Drugie podejście (Paweł wyczytał tę propozycję u Wygotskiego) to zaczynanie nie od liczności zbiorów, a od proporcji. Ja sam optuję za podejściem dualnym.
W tym ujęciu ilustracją liczby trzy jest para obiektów, z których jeden jest trzy razy większy od drugiego.
Paluszki są zupełnie innym zagadnieniem i bardzo popieram liczenie na palcach! Są protezą pamięci brakującej do obliczeń, a u bardzo małych dzieci ich zbiory służą za wzorce liczb do fregegowskiego porównywania.
No nie Xawer,
dziecko oprotestowało coś zupełnie innego!
A co innego?
Dziecko uznało, że jeśli „jeden” to czerwone jabłuszko, to nie podoba mu się, że zielone jabłuszko to też „jeden”.
Gdyby mu nie wciskać tych jabłuszek jako reprezentacji liczb, to problem by w ogóle nie zaistniał.
Zacytuję Grażynę: „Czy każde „jeden” – będące składnikiem trzech – jest sobie równe? Dziecko liczące jabłka – małe zielone, duże czerwone i żółte z plamką od obicia – protestuje…”
To pomieszanie wynika z niesłusznego i nieuprawnionego utożsamienia liczby jeden z jabłuszkiem, zamiast z licznością zbioru składającego się z jednego jabłka.
Przy dodawaniu można z tej pułapki wybrnąć, choć małemu dziecku nie tak łatwo wyjaśnić różnice pojęciową pomiędzy przedmiotem, a zbiorem składającym się z tego jednego przedmiotu. Wielu dorosłych też ma z tym problem.
Ale nawet przy takim ratowaniu ilustracji jabłuszkowej już nie wybrniesz z mnożenia. Nie da się mnożyć jabłuszek przez jabłuszka. Jeśli w jednym ręku masz trzy czerwone jabłka, a w drugim dwa zielone, to nijak nie wykombinujesz z tego liczby sześć reprezentowanej przez sześć jabłek.
Z uczniem licealnym(a przy Pawła talencie – nawet gimnazjalnym), lubiącym zabawy intelektualne, można próbować pokusić się o stworzenie pojęcia jabłuszka kwadratowego, które jest wynikiem mnożenia jabłuszka przez jabłuszko. Wprawdzie trudno sobie wyobrazić takie jabłuszka kwadratowe, a w szczególności własności geometryczne przestrzeni jabłuszkowej, ale może to być bardzo śmieszna i pouczająca zabawa, służąca zrozumieniu istoty iloczynu tensorowego dwóch przestrzeni. Tyle, że to już nie jest przedszkole…
A ja napisałam niżej, teraz nie wiem, czy adekwatnie.
Po prostu postrzeganie matematyki przez nie-matematyczny umysł jest inne :))
POSIADAM W TEJ DZIEDZINIE DUŻO DOŚWIADCZENIA (niestety)
Dokładnie to dziecko oprotestowało jednakowość kwadratów – bo takich sobie zażyczyłam, ułożonych w określony sposób – a ono pociachało sobie papier po swojemu i po swojemu poukładało – w różnych konfiguracjach po trzy. A mnie tak ładnie to się wymyśliło – na bazie różnych wcześniej znanych i obecnie poznanych metod.
Jednostka – czyli kwadrat – miała być jednakowa. Trzy miało być wielokątem o powierzchni 3 kwadratów. Chciałam żeby policzyć elementy jednakowe – a przecież bywały wcześniej niejednakowe. To mnie zaniepokoiło – i dotyczy to jednego dziecka na 20, w przedszkolu publicznym. Aneta mogłaby napisać, czy w montessoriańskim podejściu – tam używa się pomocy składających się z korali-perełek, zdarzają się takie problemy. Metodycznie to ze mnie żadna montessorianka, Aneta jest specjalistką. (My nadal nie pracujemy jeszcze razem, ja w publicznym, ona w naszym niepublicznym przedszkolu, choć blog jest wspólny).
Tak jak pisałam na blogu u Xawra, mam w przedszkolu do liczenia podejście sytuacyjne, czyli liczymy gdy zajdzie taka potrzeba lub dzieci coś interesuje. I dzieci na ogół przeliczają tak, jak pisze Xawer (np. gdy sprawdzam rano, ile ich przyszło do przedszkola).
Często też używają palców, w różnych sytuacjach, i nie odczuwam, że to jakaś samoobrona przy stawianiu im pytań pozbawionych sensu. Może to raczej daje pewność, utwierdza w przekonaniu, że nie zrobią błędu i jakoś jednak ilustruje problem? Np. dziś – dzieci jest w klasie obecnych 22, ja zajmuję z „obróbką drewna” (wypalanie) jeden stół, zatem miejsc jest wolnych 18 (3 stoły po 6 miejsc), a panie zaczynają nakrywać do obiadu; mówię więc do chłopca używającego wypalarki, że kończymy, bo miejsc dla wszystkich nie starczy, „ale dlaczego?”, protestuje – pytam więc dziewczynki siedzącej z drugiej strony – „mamy 18 wolnych miejsc, ile brakuje?” A ona głośno mówi: „18” – a potem „19, 20, 21, 21” i kolejno prostuje 4 przy tym palce. „Jeszcze cztery miejsca potrzebne” – odpowiada.
Zapewne zdarza mi się poprosić o „dodanie” talerzy, cukierków czy kredek.
Staram się jednak kontrolować i raczej używać określeń – jeśli tego tyle, a tego tyle, to ile razem. Wprowadziłyśmy (z koleżanką z która prowadzę grupę w publicznym przedszkolu) znak „+” kilkakrotnie ilustrując jego znaczenie, bawiąc się przy tym gotowymi plakietkami z cyframi i znakami – i dzieci mimo to nie mówią „dodać”. Najczęściej mówią „plus”, mają już zakodowane takie znaczenie z wcześniejszych doświadczeń, nie z przedszkola. Podobnie nazywają znak „-” „minusem”, choć używałyśmy słowa „odjąć” przy zapisie wykonywanych czynności odejmowania czegoś. Ponieważ jednak wykonują obliczenia wymagające dodawania i odejmowania – praktycznie, nie jako słupki czy zadania, nie forsujemy takich ćwiczeń. I może to niedobrze? Kiedyś – gdy jako młodszy nauczyciel nie zastanawiałam się tyle nad sensem tego, co robię, a bardziej koncentrowałam na organizacji zajęć i programie, robiłam więcej takich ćwiczeń.
Od miesiąca bawimy się tangramem – ale to opiszę osobno w wolnej chwili. Czułam, że zaniedbałam to „formalne” liczenie (mam w programie dodawanie i odejmowanie) i tak powstał problem. A pisałam krótko i szybko przed pójściem do pracy, może stąd nieporozumienie.
Jeśli już Marzenie podsumowałem liczenie kotletów na patelni jako konstrukcję Fregego (Marzenie w końcu niemiecka kultura bliższa), to Twojej dziewczynce liczącej (z pomocą palców) ile miejsc brakuje trzeba też oddać honor i pochwalić za odejmowanie w konstrukcji Peano.
W arytmetyce Peano ciąg myślowy, prowadzący do policzenia ilu miejsc brakuje jest następujący:
– dla 18 dzieci nie brakowałoby miejsc (czyli brakowałoby zero miejsc)
– dla każdego kolejnego dziecka brakuje kolejnego miejsca:
— dla 19 dzieci brakuje 1 miejsca;
— dla 20 dzieci brakuje 2 miejsc;
— dla 21 dzieci brakuje 3 miejsc;
— dla 22 dzieci brakuje 4 miejsc;
Peano opiera całą arytmetykę na jednej tylko operacji elementarnej, zwiększania liczby o jeden (sukcesji), zapisywanej jako 22=S(21)
A ponieważ w rozumie trudno jednocześnie pamiętać dwie liczby i jeszcze każdą z nich zwiększać, to pamiętała i odliczała słowami liczbę dzieci, a liczbę miejsc zapamiętywała na odgiętych palcach.
Przekaż jej moje wyrazy uznania, a na cześć Giuseppe Peano coś specjalnie włoskiego, np. tiramisu 😉
Z tymi kwadratami, to bardzo dobry pomysł — idziesz tu w stronę Euklidesa, u którego liczby są jednocześnie licznościami zbiorów i proporcjami (długości odcinków, pól powierzchni figur, objętości brył).
To jeden z najładniejszych sposobów wprowadzania jednocześnie liczb wymiernych (długości odcinków) i całkowitych. Powiązanie jest właśnie takie, jak u Ciebie: figura trzy razy większa od danej, to taka, którą da się tak pokroić na kawałki i poskładać, że wyjdą trzy te mniejsze. Z tego można zrobić ogromny kawałek matematyki, wdepnąć w ulubione Pawła (moje też…) zagadnienia wymierności i niewymierności, ale przede wszystkim pokazuje się dualistyczne podejście interpretacyjne.
Ten sam dualizm, co w przypadku kubków Marzeny, tylko bardziej naturalny. Raz liczysz ILE jest kwadratów, czyli liczności zbiorów, składających się z kwadratów. A drugi raz zwracasz uwagę na miarę powierzchni figur, z tych kwadratów złożonych — odpowiednik „ilości materii kubkowej”.
Kwadraty (czy inne figury geometryczne) są tu o tyle ciekawsze od kubków, że łatwo przejść do ułamkowych miar, a Marzena nie zbiera skorupek z potłuczonych kubków, zresztą dwie połówki rozbitego kubka, to coś jakościowo różnego od całego kubka, więc tu dzieci by słusznie oprotestowywały.
Paweł twierdzi, że Wygotski postulował zaczynanie od proporcji (reprezentujących liczby wymierne) w stosunku do dzieci, ja tam się nie znam na teoriach pedagogiki, ale po sobie samym i znajomych dzieciach widzę, że dualistyczne podejście Euklidesa się sprawdza.
W każdym razie wszelkie tangramy i rozcinanie kartonowych figur, a potem składanie ich w inny sposób — bardzo polecam!
Duży plus dla tej dziewczynki liczącej na palcach miejsca! Sam tak robię i się nie wstydzę… Palce, to naprawdę wygodna proteza krótkotrwałej pamięci do przechowywania liczb…
Wygotski postulował, żeby dzieci rozwiązywały problemy – jak najbardziej samodzielnie, z minimalną pomocą nauczyciela. Proponował sekwencje tych problemów tak, by poradziwszy sobie z prostszym dzieci przechodziły do kolejnych. Podobnie, jak wiele z tu wypowiadających się osób, sugerował kierunek od namacalnego konkretu do nienamacalnej abstrakcji, a równocześnie mocno i wyraźnie (wyraźniej niż tu da się przeczytać) akcentował znaczenie tej abstrakcji – ona była mianowicie celem tych wszystkich zabiegów, a nie złem koniecznym np. matematyki.
Później, kiedy Wygostki przestał być cenzurowany w Sowietach, wymyślono w Rosji (a w Sowietach), że w tak pomyślanych dziecięcych samodzielnych próbach nie ma co przywiązywać się ani do liczb naturalnych (one wbrew nazwie nie są naturalne i stopień, w jakim twoje „przymiotnikowe” rozumienie tych liczb liczb nie znajduje tu zrozumienia, dobrze to pokazuje), ani do liczenia w systemie dziesiętnym i w ogóle do liczenia. Ta rosyjska metoda koncentruje się na liczbach wymiernych i na wyprowadzaniu pojęć matematycznych bez liczenia – co nie mieści się w głowach wytresowanych w tradycyjnej szkole. Ona jest oparta na Wygotskim o tyle, że odwołuje się do dziecięcej samodzielności i heurystycznej konstrukcji programu. Pomysł, żeby z dziećmi zacząć od „ułamków” i sugestia, że one są bardziej naturalne, jest późniejszy i moim zdaniem ciekawy. Devlin wspominał o eksperymentalnych zajęciach według tej metody w kilku szkołach w Nowym Jorku. Rezultaty są podobno bardzo dobre, ale – jak zauważa Devlin – zupełnie nie wiadomo, czy należy je zawdzięczać metodzie samej w sobie, czy może temu, że realizuje ją zespół entuzjastów, którzy – co więcej – znają się na rzeczy.
Ksawery, problem w tym, że dyskutujące tu z Tobą osoby niezupełnie tak samo jak Ty widzą cel ćwiczeńw liczeniu rozmaitych rzeczy. Marzena zapytała w którymś momencie, czy matematyka jest oderwana od rzeczywistości. No, właśnie w dużym stopniu jest. Cała klasa zagadnień matematycznych – włącznie z tymi bardzo podstawowymi (nie mylić z elementarnymi, choć one bywają elementarnie proste) nie ma i prawdopodobnie nigdy nie będzie miała niczego wspólnego z jakąkolwiek fizyczną rzeczywistością, o rzeczywistości namacalnej nie wspominając. Choćby niewymierność niechciana przez Semadeniego w „szkolnej matematyce”, jak był łaskaw się wyrazić. Liczby niewymierne, których istnienie przeraziło Greków nie są w żaden sposób niezwykle – da się je „narysować” równie łatwo jak te wymierne. Są dziwaczną i niespodziewaną konsekwencją logiki, a nie niczego, co da się dotknąć i zobaczyć. Być może kiedyś będzie się rozważać fizykę istniejącą w nieciągłych przestrzeniach, czy podobnie egzotyczne pomysły – póki co jednak niewymierność długości pewnych odcinków nie ma żadnego praktycznego znaczenia.
Oczywiście matematykę się stosuje w codziennym życiu. Oczywiście warto to pokazywać. Jednak trend – a takie głosy słychać zewsząd – żeby naukę matematyki lokować w codziennych kontekstach, jest prymitywizowaniem matematyki i jest przy tej okazji również antykulturowy. Bo Euklides i jego aksjomaty to samo jądro kultury naszej części świata. Co prawda to jest ta kultura tradycyjna, co to za (po)nowoczesnością nie nadąża jeszcze bardziej niż szkoła – być może należy ją unieważnić, skoro podobno wiedzy przybywa w tempie wykładniczym itd. Fizyka kwantów – jakkolwiek egzotycznie brzmi dla laików – znalazła zastosowanie wszędzie, np. w odtwarzaczach płyt DVD. Ale Shrodinger nie był konstruktorem tych urządzeń – co więcej, one by nigdy nie powstały, gdyby taki był właśnie cel ludzkich dociekań.
Związki matematyki z rzeczywistością w istocie są o parę pięter bardziej subtelne, niż się to wydaje Twoim rozmówcom. Bywa, że najbardziej egzotyczne struktury nagle okazują się opisywać jakąś fizyczną rzeczywistość. Tak było z liczbami urojonymi dla przykładu, albo z dziwacznymi konstrukcjami abstrakcyjnych płytek Penrose’a, które – jak się okazało – opisują model i prawdopodobnie przyczynę budowy i zachowania pewnych rodzajów kryształów. Teoria strun rozwija się w oparciu o matematyczny byt, którego twórcy (czy odkrywcy?) pracowali w przekonaniu, że wreszcie robią coś, dla czego fizycy nie zdołają znaleźć zastosowania 🙂
Matematyka rozumiana bez związku z rzeczywistością według określenia Marzeny okazuje się w platońskim sensie tworzywem i istotą rzeczywistości i równocześnie w przedziwny sposób własnością nie tylko ludzkiego umysłu, ale również zmysłów. Na ogół nie trzeba nikomu definiować pojęcia punktu i prostej, choć Euklides to zrobił, co pięknie zacytowałeś. To są te kompletnie nierealistyczne i najzupełniej abstrakcyjne obiekty, które każdy z nas jednak „widzi”. Nie ma w przyrodzie ani punktów, ani linii prostych. A jednak wydaje się nam, że je widujemy. Ludzki umysł (prawdopodobnie nie tylko ludzki) ma zdolność do generowania tego typu abstrakcji już w procesie postrzegania. To na tym – jeżeli na czymkolwiek – polega cielesność podstaw matematycznego myślenia. Z pewnością nie na dotykaniu jabłuszek, na Boga! Ci Rosjanie, którzy się na Wygotskiego powołują – wciąż jeszcze jestem przed bliższym poznaniem tego, co naprawdę robią – odwołują się do tych cech ludzkiej i dziecięcej inteligencji. Rzeczywiście z tej perspektywy liczby, zwłaszcza naturalne, i rachunki wykonywane na nich oraz treningi w tych rachunkach raczej szkodzą zdolności głębokiego widzenia logiki, niż stanowią jej jakąkolwiek podstawę. Zdecydowaliśmy się kiedyś na to, bo się nam wydawało, że to jest praktycznie użyteczne i że masom dzieci z prostego ludu ani nic innego potrzebne nie będzie, ani nie należy oczekiwać, że one cokolwiek poza tym pojmą. Tak to nam zostało – ale dziś już ćwiczymy te biedne dzieci (nieskutecznie zresztą, bo potrafimy spieprzyć wszystko, za co się weźmiemy) i wydaje nam się, że budujemy w ten sposób jakieś podstawy, podczas, gdy w rzeczywistości je niszczymy. To po prostu widać po wynikach, że niszczymy. W związku z tym wymyślamy, że to przez to, że macamy za mało… Dobry Boże… No pewnie, że za mało. Przede wszystkim za mało myślimy.
Wstręt do definicji zapisano dzisiaj w podstawie programowej, definicje potępiają również zgodnie metodycy. Racje, które za tym przemawiają są oczywiste – tego nie trzeba wyjaśniać, podobnie jak znaczenia spacerów, zabaw, czy zalet eksploracyjnego środowiska. Abstrakcja kojarzy się z formułką sztuczną, obcą psychice normalnego człowieka – jej też nie chcemy i też da się łatwo zrozumieć powody. Ale jeśli pytamy, czy matematyka rozwija myślenie, to oczywiście, że rozwija. Jednak nie poprzez macanie jabłuszek, a poprzez abstrakcje właśnie. Można je tworzyć na wiele sposobów, „uczenia utajonego” i samodzielnego abstrahowania z doświadczeń akurat bym nie polecał – poleca Semadeni. Paluszki, żetony, rozmaite fizyczne aktywności pomagają, owszem. Jednak to abstrakcja jest celem. Szkolna matematyka dlatego jest szkolna i dlatego nie rozwija myślenia, że o tym zapomniała już 200 lat temu.
Przyznaję, pomyliłem Devlina z Wygotskim, o których kiedyś pisałeś.
Ja sam nie znoszę jednostronności i „wspaniałych recept”, zwłaszcza w teoriach pedagogicznych.
Intuicja, osobiste doświadczenie (i 2000 lat historii) podpowiadają mi, że nie ma problemu z dualistycznym podejściem, jak u Euklidesa: zajmowaniem się proporcjami, ale te proporcje czasem są liczbami całkowitymi i wtedy można je tworzyć przez odliczanie: jak w Grażyny przykładzie z kwadratami.
Nie powiedziałbym, że „matematyka jest oderwana od rzeczywistości” — raczej, że jest od niej niezależna, ale zadziwiającą własnością Świata jest to, że przy pomocy tej matematyki daje się go bardzo skutecznie i dokładnie opisywać i modelować. Tu bliższy mi jest bonmot W.Arnolda, że „matematyka jest częścią fizyki — tą, gdzie eksperymenty są najtańsze”.
I tu nie sposób uciec od metafizyki i sporu (czy też koegzystencji) realizmu z idealizmem. Ubolewać tylko trzeba nad filozoficznym przygotowaniem nauczycieli wczesnoszkolnych, nie potrafiących dyskutować z dziećmi bez spychania rozmowy w skrajny realizm.
Tu, jak sądzę, leży główny punkt mojego niezrozumienia z Marzeną: moja pretensja do Piageta i ciągnącej się po nim pedagogiki jest właśnie o to, że z niezrozumiałych dla mnie przyczyn założył, że dzieci są ekstremalnymi realistami i odmówił im prawa do idealistycznego oglądu Świata. Tymczasem wydaje mi się, że jest dokładnie na odwrót: dzieci mają znacznie bardziej idealistyczny ogląd, niż dorośli. Co zresztą może wynikać z samonepędzającego się koła: ci dorośli są produktami szkoły narzucającej i wymuszającej realizm. Pre-piagetowska szkoła pruska też była realistyczna, choć z innych przyczyn.
Palce, na których dziecko liczy, nie „są liczbami” tylko są ilustracją liczb. Ale szkoła każe mu „dodawać jabłuszka”, a nie ilustrować jabłuszkami dodawanie liczb. I tak jabłuszka stają się liczbami. Jeszcze gorzej masz w geometrii, w której kreski i kółka na kartce czy tablicy stają się przedmiotem geometrii, a nie ilustracją jej przedmiotu. Nauczyciel, rysujący kółko na tablicy mówi „to JEST okrąg” i to JEST oznacza tożsamość, a nie ilustrację, jak w przypadku rysunku słonia i komentarza „to jest słoń, drogie dzieci”. To JEST w przypadku kółka na tablicy ma takie samo znaczenie, jak „to JEST słoń” wypowiedziane w czasie wycieczki do ZOO. To rozróżnienie jest dalej zepsute przez autorów podręczników, którzy potrafią (i nikogo to nie dziwi ani oburza) kazać policzyć obwód kwadratu o boku 2cm. Szkoła sama nie wie (więc tym bardziej nie jest w stanie tego pokazać dzieciom), że kwadraty nie z tego są świata, w świecie kwadratów nie ma centymetrów, a świecie ziemskim nie ma kwadratów, tylko przedmioty o kształtach dających się opisywać przy pomocy idei kwadratu. Geometria w szkole (i powszechnym rozumieniu) nie dotyczy abstrakcyjnych idei linii i kół, tylko kreślenia przy użyciu cyrkla i linijki zupełnie bezsensownych rysunków z trójkątami opisanymi na kółkach. U Euklidesa słowa ‚cyrkiel’ ani ‚linijka’ nie padają ani razu, choć zapewne ich używał (a z pewnością używali kopiści jego dzieła) do sporządzenia ilustracji.
Tymczasem dzieci ten idealizm rozumieją całkiem łatwo i w naturalny sposób. Pisałem tu już o przedszkolnej dziewczynce, która narysowała kółko i dlatego ten rysunek był krzywy, ale PRAWDZIWE kółka są okrągłe. Wpychanie dzieciom na siłę „konkretów” i utożsamianie okręgów z ich rysunkami, albo liczb z jabłkami, ten idealizm zabija. I już po krótkim czasie takiej tresury piagetowski pogląd uzyskuje samosprawdzenie: jeśli oduczymy je myśleć abstrakcyjnie, to nie będą tak myśleć.
Euklides i definicje: zauważ, że Definicje u Euklidesa są ukłonem w stronę zilustrowania bytów jeszcze bardziej abstrakcyjnych, niż te linie pozbawione szerokości. One, tak jak rysunki w tekście, są wyłącznie ilustracją, a zapewne Euklides sam miał podobną ilustrację w głowie pisząc Elementy. I jest to ilustracja podwiązująca strukturę matematyczną do świata realnego, czyli sugerująca, że jeśli kreskom na piasku albo sznurkom na budowie przypiszemy związek z odcinkami, to będziemy mogli na przykład skonstruować budynek według naszego zamysłu architektonicznego, a nawet uda nam się policzyć ile kamienia trzeba na budowę.
Ale „Elementy” są strukturą, w której można pojęciom podstawowym nadać dowolne znaczenie — Definicje odwołują się do naszej wyobraźni, a nie są nigdzie wykorzystywane w samej strukturze.
Definicji Euklidesa w zasadzie nie trzeba nikomu wyjaśniać. Pamiętam jednak jak mój Dziadek poświęcił kilka tygodni na wydyskutowanie ze mną egzegezy tych Definicji, a później Postulatów. Przez kolejne konstrukcje brnąłem już zazwyczaj bez jego pomocy, za to z dużym zapałem. I nie był to czas zmarnowany, w przeciwieństwie do siedzenia w ławce w szkole, gdzie inne dzieci rozwiązywały słupki.
Zwróćcie uwagę, że do Definicji można podejść dwojako. Pierwszy sposób, to uznanie geometrii za strukturę abstrahującą nawet od znaczenia swoich pojęć podstawowych, a skupiającą się (jak całość matematyki) wyłącznie na relacjach między nimi (końcami odcinka są punkty, ale nie musi nas obchodzić co to są odcinki i punkty), której jednak nadajemy pewną interpretację na potrzeby łatwiejszego wyobrażenia sobie, o co w tym chodzi.
Drugie podejście, to podejście fizykalne: Euklides w ten sposób mówi, że jego struktura matematyczna jest modelem świata realnego: idealizacją, ale w tym świecie jest zaczepiona. Poprzez definicje mówi, na czym ta idealizacja polega: mówi nam, że pojęcie punktu możemy odnosić do czegoś tak małego, że jego rozmiary są nieistotne dla naszego fizykalnego problemu. Tę zasadność aplikowalności geometrii do Świata doskonale rozumiał na przykład Eratostenes: w jednym opisie Świata uznając Słońce za punkt (i było to poprawna idealizacja dla pomiaru wielkości Ziemi), ale w innym miejscu uznając je za wielką kulę i nawet licząc jej wymiary. Doskonale też rozumiał, że Ziemię można z grubsza opisywać jako kulę, ale tylko z grubsza, bo miejscami na Ziemi sa góry. I dlatego linia patrzenia aż po horyzont jest styczna do powierzchni kuli, gdy z Latarni Aleksandryjskiej gapimy się na okręty na morzu, ale nie da się tak na lądzie w Grecji.
I w tym fizykalnym podejściu musimy odpowiedzieć sobie, co uznajemy za prostoliniowość — zazwyczaj najlepiej pasuje nam trasa promienia światła.
Rodzaj rozumienia Definicji (ilustracyjny vs. fizykalny) prowadzi do postawienia i rozstrzygnięcia pytań o sens prawdziwości piątego postulatu. Pytanie Riemanna o prawdziwość tego aksjomatu jest bezprzedmiotowe w interpretacji ilustracyjnej. Ale jest jak najbardziej zasadne w interpretacji fizykalnej, co rozstrzygnął dopiero Einstein: piąty postulat jest sprzeczny z interpretacją fizykalną Definicji Euklidesa. A Eddington pokazał tę fizykalną nieprawdziwość piątego postulatu obserwacyjnie: dwa równoległe promienie światła mogą się przecinać.
Ja myślę, że dzieci są nawet bardziej niż zdolne do rozumienia tego typu abstrakcji, zwłaszcza właśnie geometrycznych, bo tę zdolność mamy prawdopodobnie zaszytą w genach i po prostu patrząc, generujemy w umysłach struktury ciągłe i regularne w miejsce chaotycznych i dyskretnych, na które patrzymy w rzeczywistości. Rzeczywiście nie mam prawa powiedzieć, że matematyka jest oderwana od rzeczywistości, bo różnice zdań w tej kwestii są spore wśród matematyków. I wcale się nie wyczerpują na przestrzeni pomiędzy platońskim realizmem, a formalizmem nieco przedefiniowanym po twierdzeniu Goedla. Chciałem tylko powiedzieć, że rozważania o jabłuszkach mają słaby związek z rzeczywistą naturą tych pojęć i ich naturalnością.
W szczególności nikt sobie chyba nie zdaje sprawy, jakie konsekwencje ma trening w liczeniu liczb naturalnych. Sam tego też nie wiem. Wiem, że konsekwencje bezmyślnej nauki liczenia są katastrofą i wiem również, że to absolutnie nie ma związku z przewagą kanału werbalnego, czy czymkolwiek w tym guście. Ma to związek z bezmyślnością właśnie, którą zarówno postuluje Semadeni, jak również ci metodycy, którzy się fascynują naturalnością, namacalnością i tego typu rzeczami. Rachunek zdań i zbiorów na przykład – to wywalono po słabych i nieudanych próbach, a przecież dzieci to pojmują bardzo naturalnie, intuicyjnie, w tym przecież zresztą niczego trudnego nie ma. To jest coś zdecydowanie przed liczeniem – w porządku hierarchii abstrakcji to są rzeczy zdecydowanie bardziej podstawowe niż liczby. Pamięciowe, „niejawne” liczenie jest katastrofą nie tylko dlatego, że powoduje fobie u udręczonych dzieci. Dlatego, że istotnie te pojęcia zapisują się w umysłach w sposób charakterystyczny dla przedrefleksyjnych umiejętności, podczas, gdy ze swej natury one powinny być przedmiotem świadomej refleksji. To o nią chodzi. A nie o to, żeby zapamiętać tabliczkę mnożenia. I to dlatego, kiedy gadasz o przymiotnikowym znaczeniu liczb, nikt Cię nie rozumie. A oczywiście przecież to dopiero początek problemu. Również blisko początku jest obserwacja, że zdecydowanie jest uczyć logiki pozycyjnej notacji kogoś, kto nie umie dobrze liczyć – bo ci wytrenowani miewają trudności z pozbyciem się dziesiętnej matrycy, która z niejasnych powodów wydaje się im jedyną możliwą. Strasznie silne jest u nich to przekonanie – bo jest właśnie nieświadome, przedrefleksyjne. To samo dotyczy algorytmów pisemnych działań – wytrenujesz w tym dziecko i potem strasznie trudno jest odkręcić ten nawyk bezmyślności, ja zdecydowanie wolę, kiedy dzieci tego nie umieją. Rozmaite „ogólnie słuszne” postulaty konkretności, namacalności itd., przykładają się wbrew intencji autorów do szkolnej głupoty mniej więcej w ten właśnie sposób.
Piaget miał duże znaczenie i zasługi w uświadamianiu, że nie można od dzieci oczekiwać rzeczy nierealnych. Dlatego jest ceniony – jako humanistyczny wyzwoliciel dzieci od absurdów bezdusznej szkoły. Jednak mnóstwo jego postulatów – w tym ten o stałości liczby – działa według ogłupiającej logiki blokującej świadomą refleksję dziecka. Piageta ustalenia krytycznie zweryfikowano, ale wynikami mało kto się przejmuje.
Wszystko pięknie ale nadal nie mamy odpowiedzi jak zrobić (tylko jak nie robić !)Czyli jak nauczać rozumienia matematykiitd
„Wpychanie dzieciom na siłę „konkretów” i utożsamianie okręgów z ich rysunkami, albo liczb z jabłkami, ten idealizm zabija.”
Jak ratować idealizm dzieci jak jak jak …?
„matematyka rozwija myślenie, to oczywiście, że rozwija. Jednak nie poprzez macanie jabłuszek, a poprzez abstrakcje właśnie.”
Zgoda ale poza jednym konkretnym przykładem ćwiczenia z kwadratami (które jak rozumiem zostało zaakceptowane) nie mamy innych podpowiedzi – a takich właśnie do wykorzystania ćwiczeń – jako metody i techniki konkretnie opisane powinni oczekiwać nauczyciele..
Tylko kto się tego podejmie?
Nie trzeba go „ratować” — wystarczy go nie niszczyć i pozwolić mu się rozwijać w naturalny sposób.
Czyli rozmawiać z dziećmi w sposób nie narzucający im skrajnego realizmu.
„poza jednym konkretnym przykładem ćwiczenia z kwadratami (które jak rozumiem zostało zaakceptowane) nie mamy innych podpowiedzi”
W wielu dyskusjach na tym blogowisku padło mnóstwo takich przykładów. Od profesjonalnie przedszkolnych (w wykonaniu Grażyny) po moją amatorszczyznę, która (wbrew temu, co można by sądzić po tej dyskusji) bardzo się podoba nawet Marzenie.
Natomiast czynnikiem kluczowym jest tu by nauczyciel czy rodzic sam widział matematykę jako abstrakcyjną strukturę, dziejącą się w platońskim świecie, która tylko może być aplikowana do świata realnego. I by ten nauczyciel nie był sam skrajnym realistą, odbierającym sens i znaczenie wszelkim abstrakcjom.
Problem nie jest w metodach dla nauczycieli, rozumianych jako rodzaj książki kucharskiej, tylko w ich własnym nastawieniu i własnym rozumieniu matematyki. Jeśli go nie mają, to żadne metody im nie pomogą by jej sensownie uczyć.
Niech nie uczą się metod, tylko matematyki.
Metoda polega na tym, żeby z dziećmi rozumnie rozmawiać, a nie ćwiczyć je w rzeczach, które się samemu ma ledwie wyćwiczone – przepraszam, to nie zarzut, a tylko konstatacja, że wszyscy jesteśmy ofiarami szkoły, a nauczyciele nawet w dwójnasób, bo nie dość, że sami byli uczniami, to jeszcze teraz mają te wszystkie podstawy programowe, podręczniki, szkolenia takie, inne, statystyki i stres, że dzieci muszą pozdawać to i tamto.
Wskazówką konkretniejszą w przypadku maluchów, które jakoś nie chcą się nauczyć liczyć, jest przestać je uczyć. Nauczą się same – od siebie nawzajem, próbując – od nas (kiedy zapomnimy uczyć, a zaczniemy liczyć razem z nimi). Można co najwyżej zadbać o preteksty (choćby gra w karty, choć to niewychowawcze). I należy pamiętać, że matematyka to nie liczenie. Rachunki to ledwie drobny element arytmetyki, a matematyka to zupełnie inna jakość.
Kilka cytatów z komentarzy Xawra:
„Liczby są jednocześnie licznościami zbiorów i proporcjami.”
„… zagadnienia wymierności i niewymierności, ale przede wszystkim pokazuje się dualistyczne podejście interpretacyjne.”
„… ale po sobie samym i znajomych dzieciach widzę, że dualistyczne podejście Euklidesa się sprawdza.”
Gdzie jeszcze sprawdza się owo dualistyczne podejście Euklidesa?
Gdy to czytam, w mojej głowie wciąż natrętnie pojawiają się te same pytania.
Dlaczego tak źle uczy się dziś matematyki? Dlaczego owo błędne podejście jest tak wszechobecne? Czy nie ma matematyków, którzy to rozumieją? A jesli są, to czemu nie przekazują takiego sposobu postrzegania matematyki swoim studentom? Dlaczego nikt nie potrafi dyskutować o matematycznych pojęciach? Powiesz, że studenci pedagogiki to zazwyczaj osoby mające problemy z matematyką. Ale czy nauczyciele matematyki, którzy skończyli studia matematyczne potrafią uczyć w sposób, który postulujesz? Czy euklidesowy idealizm to jakaś wiedza tajemna, czy podstawy matematyki? A jeśli podstawy, to czemu nikt …..
Rozumiem Twoją argumentację wyjaśniającą, iż liczby należy traktować przymiotnikowo. Dla mnie oznacza to, konieczność patrzenia na nie z perspektywy zbiorów, których są przymiotami. Ale nie wiem, czy euklidesowe postrzeganie świata, które z tego co piszesz, jest zupełną rzadkością wśród matematyków (jeśli byłoby prawdą oczywistą, to absolwenci matematyki musieliby przejmować ten sposób postrzegania matematycznych fenomenów), nie jest zbyt ekskluzywne dla przeciętnych dzieci? Powiesz, że nie, że te dzieci potrafią myśleć idealistycznie (Twoje doświadczenia na to wskazują), tylko zostały popsute przez tresurę niedouczonych nauczycieli. Ale kto popsuł tych nauczycieli? Gdzie jest źródło zupełnie błędnego postrzegania matematyki? Dlaczego owa prawdziwa matematyka jest dobrem tak rzadkim? Czego zatem uczą się studenci matematyki? Czy oni dyskutują na ćwiczeniach o tym, że liczby są jednocześnie licznościami zbiorów i proporcjami? Czy absolwencji studiów matematycznych mają świadomość owego dualizmu? Czy sądzisz, że ów dualizm jest czymś dostępny poznaniu dziecka? Boję się, że bez wahania powiesz, że jest. Wyznam tu, że w życiu boję się ludzi, którzy nie mają żadnych wątpliwości 😉
Zawsze słyszałam od matematyków, że fizycy dużo lepiej liczą, bo częściej to robią. Znajomi matematycy liczenie pogardliwie określają jako „rachunki”, a tym szanujący się matematyk się nie zajmuje. I nie raz zastanawiałam się, czy nie lepiej zacząć (podkreślam ZACZĄĆ) nauczanie matematyki w oparciu o zjawiska fizyczne. Wtedy wiadomo, co i dlaczego się liczy. Tak, jak to pokazywałeś w swoich doświadczeniach, np. z lodem w akwarium czy z tęczą. Czy zatem dualizm liczb i dyskusje o ich naturze powinny rozpoczynać przygodę z matematyką? A jeśli tak, to skąd wziąć ludzi, którzy umieliby to zrobić?
„Gdzie jeszcze sprawdza się owo dualistyczne podejście Euklidesa?”
Moje „sprawdza się” dotyczyło sprawdzania się jako podejścia dydaktycznego: jeśli dziecku nie narzucamy ani jednej, ani drugiej wizji jako dominującej, to rozumie zagadnienia matematyczne i jest mało podatne na zablokowanie się, że matematyka to nudna, niezrozumiała głupota. By być uczciwym: nigdy nie spotkałem dziecka uczonego w pomyśle Devlina, czyli zaczynając od proporcji, więc być może i ono się sprawdza. Ale spotkałem setki ludzi uczonych w podejściu mnogościowym (czyli liczenia na liczbach całkowitych) jako pierwszym i przez dłuższy czas jedynym. I spora większość z tych ludzi ma blokady mentalne przeciw matematyce, nie rozumie jej i uważa za magię tylko dla wtajemniczonych.
Natomiast gdzie sprawdza się to podejście w świecie: wszędzie! Wszędzie tam, gdzie mamy do czynienie z jakąkolwiek nauką czy techniką – to podejście obecne jest w matematyce i wszystkim, co na niej bazuje.
„Dlaczego tak źle uczy się dziś matematyki? Dlaczego owo błędne podejście jest tak wszechobecne?”
Ja widzę tu dwie przyczyny:
1. Samozapętlający się mechanizm, ciągnący się od czasów Fryderyka Wilhelma, powodujący, że kolejne pokolenia nauczycieli uczą tak samo, jak byli sami uczeni, w matematyce dodatkowo wzmacniany negatywną pod względem rozumienia i upodobań matematycznych selekcją do zawodu nauczycieli przed- i wczesnoszkolnych.
2. Ciągnący się od Piageta mit o niezdolności dzieci do myślenia abstrakcyjnego, dodatkowo wypaczany przez kolejne pokolenia pedagogów. Odwołująca się do niego tradycja każe rugować ze szkoły wszelkie myślenie abstrakcyjne i niejednoznaczności. A dualne spojrzenie interpretacyjne przecież nie może być „wymaganym dla dzieci” konkretem!
„dzieci potrafią myśleć idealistycznie (Twoje doświadczenia na to wskazują), tylko zostały popsute przez tresurę niedouczonych nauczycieli. Ale kto popsuł tych nauczycieli?”
Poprzednie pokolenie nauczycieli, oraz system szkolny, w którym funkcjonują i który im każe uczyć tabliczki mnożenia na pamięć, a nie myśleć o abstrakcyjnych zależnościach. Przeczytaj uzasadnienie Podstawy Programowej z matematyki, autorstwa prof.Semadeniego. Nie będę ścigał się z Pawłem w wyżywaniu się nad nim…
„Czego zatem uczą się studenci matematyki? Czy oni dyskutują na ćwiczeniach o tym, że liczby są jednocześnie licznościami zbiorów i proporcjami?”
Zależy jacy studenci i jakiej uczelni. Studenci matematyki w Oxfordzie czy na Uniwersytecie Warszawskim dyskutują (a przynajmniej jeszcze kilkanaście lat temu dyskutowali) takie zagadnienia.
Natomiast studenci Akademii Świętokrzyskiej czy innej dawnej WSP nie dyskutują tego, tylko uczą się, jak uczyć dzieci tabliczki mnożenia i jak pisać konspekty lekcji.
„Czy absolwencji studiów matematycznych mają świadomość owego dualizmu?”
Przynajmniej ci czwórkowi i piątkowi z Uniwersytetu Warszawskiego i Jagiellonki mają tę świadomość.
A nawet absolwenci przyzwoitych politechnik (vide Paweł)
„Czy sądzisz, że ów dualizm jest czymś dostępny poznaniu dziecka?”
Oczywiście! Dzieci rozumieją ten dualizm intuicyjnie, ten dualizm istnieje w każdym, kto nie zgłupiał w szkole. Twojemu poznaniu też jest nie tylko dostępny, ale go masz, choć nie jesteś tego świadoma. Piekąc ciasto bierzesz 0.75kg mąki i 3 jajka. Doskonale posługujesz się oboma pojęciami, choć interpretacja jest właśnie różna: inaczej interpretujesz liczbę 0.75 w odniesieniu do mąki, a zupełnie inaczej 3 do jajek.
„Boję się, że bez wahania powiesz, że jest. Wyznam tu, że w życiu boję się ludzi, którzy nie mają żadnych wątpliwości”
Nadal się boisz? No to upiecz sobie ciasto!
„Zawsze słyszałam od matematyków, że fizycy dużo lepiej liczą, bo częściej to robią. Znajomi matematycy liczenie pogardliwie określają jako „rachunki”, a tym szanujący się matematyk się nie zajmuje.”
I tak i nie. Ani matematycy ani fizycy nie robią obliczeń na liczbach w szkolnym stylu: ile to jest 198+263 ?
Pod słowem „rachunki” czy „liczenie” tu się ukrywa przekształcanie wyrażeń algebraicznych, rozwiązywanie równań różniczkowych, etc. I tu pełna racja – matematycy rzadko to robią, a fizycy dużo częściej. Stąd i przeciętny absolwent fizyki ma dużo większą wprawę w rozwiązywaniu równań różniczkowych, niż absolwent matematyki.
„czy nie lepiej zacząć (podkreślam ZACZĄĆ) nauczanie matematyki w oparciu o zjawiska fizyczne”
Trudno postawić granicę pomiędzy matematyką a fizyką. Czy geometria to matematyka? Czy fizyka? (patrz komentarz wyżej o Euklidesie). Czy mechanika klasyczna to matematyka, czy fizyka? (Na UW jest wydział Fizyki, a drugi wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki) Czy Ogólna Teoria Względności to matematyka, czy fizyka?
Moim skromnym zdaniem (i tak to wychodzi w mojej praktyce) uczenie matematyki i fizyki powinno być prowadzone łącznie, jako jeden przedmiot z jednym nauczycielem, gdzie od jednych zagadnień przechodzi się do innych. W moich zajęciach jako osnowa dominują zagadnienia fizyczne i całość matematyki „szkolnej” pojawia się mimochodem na ich marginesie. Jeśli prowadzę zajęcia czysto matematyczne, to na tematy zupełnie spoza programu szkoły. Choćby dziś miałem zajęcia z arytmetyki modularnej i teorii grup — osadzone w zainteresowaniu ucznia szyframi i kryptografią…
Na pewno jest jednak mnóstwo zagadnień czysto matematycznych, z którymi warto startować do nawet przedszkolaków w całej ich abstrakcyjności. Choćby moje zabawy z dziećmi w mosty Eulera, albo ulubione Grażyny problemy geometryczne.
„Czy zatem dualizm liczb i dyskusje o ich naturze powinny rozpoczynać przygodę z matematyką? ”
Na pewno nie! Przygodę z matematyką dzieci powinny zaczynać w wieku niemowlęcym, a wtedy się jeszcze nie dyskutuje 😉
Chorobą szkoły (od czasów Fryderyka Wilhelma) jest zaczynanie uczenia matematyki od rachunków (rzadko poza nie wychodząc przez całą szkołę). Uczenie matematyki zdecydowanie powinno zaczynać się od zagadnień matematycznych nie związanych z arytmetyką: logiki (zarówno języka naturalnego, jak i formalnej), geometrii, topologii, rachunku zbiorów, Bóg wie, czego jeszcze, rachunki traktując na pewno nie jako ważniejsze od nich.
Dlatego (nie tylko dlatego!) warto czytać Euklidesa, który zaczynając od geometrii, buduje później arytmetykę, ale nie oderwaną od reszty matematyki, tylko zrośniętą i wynikającą z geometrii.
„A jeśli tak, to skąd wziąć ludzi, którzy umieliby to zrobić?”
Na masową skalę jest to nierealne w czasie krótszym niż pokolenie albo i więcej. A na małą skalę? Już rok temu proponowałem zorganizowanie kursów (w stylu studiów podyplomowych, a nie szkoleń) z „matematyki dla przedszkolanek”.
Znajdź mi sponsora i organizatora, to co roku wypuszczę kilkadziesiąt otwartych matematycznie nauczycielek…
Xawer, napisałeś:
„Odwołująca się do niego tradycja każe rugować ze szkoły wszelkie myślenie abstrakcyjne i niejednoznaczności.”
Najnowsze badania dotyczące nauczania matematyki w Polsce (Klus-Stańska, Gruszczyk-Kolczyńska, Kalinowska, Dąbrowski, patrz. Raport o stanie edukacji 2010, wyd. W 2011) wskazują na coś dokładnie odwrotnego. Matematyki uczy się w sposób abstrakcyjny. Co do niejednoznaczności, zgoda!
Jean Paget
Mnie się wydaje, ze bardzo trudno jest dyskutować, gdy mamy taki czarno-biały obraz, stałe koordynaty. Tu dobre, a tam bee … Paget jest bee i Ken Robinson jest bee (o Semadenim nie wspominając) a ten i tamtem są idealizowani. Jeszcze gorzej, gdy ktoś w ten swój czarno-biały schemat próbuje wciskać innych (tego sama doświadczyłam w jednej z wcześniejszych dyskusji). Ale świat nie jest tak czarno-biały!!!
Xawer, wierz mi, wiekszość nauczycieli Piageta nie czytała!!! Kojarzą nazwisko i to wszystko. Nie wiem, czy Ty czytałeś, ale on nie negował myślenia abstrakcyjnego. Jego doświadczenia stosowane są do dziś przez wielu badaczy. Popełnił jednak jeden, bardzo poważny, błąd. Uznał granice, które ukazały się w dziecięcym rozumieniu świata, za sztywne i dane z góry. Dziś wiadomo już, że sposób postrzegania i rozumienia świata zależy od dotychczasowych aktywności i doświadczeń.
Ad.1. Wiedziełam, że to napiszeszsz!!!
Cytat:
„Samozapętlający się mechanizm, ciągnący się od czasów Fryderyka Wilhelma, powodujący, że kolejne pokolenia nauczycieli uczą tak samo, jak byli sami uczeni, w matematyce dodatkowo wzmacniany negatywną pod względem rozumienia i upodobań matematycznych selekcją do zawodu nauczycieli przed- i wczesnoszkolnych.”
To niczego nie wyjaśnia, bo nauczyciele po studiach matematycznych nie są lepsi i nie potrafią większości uczniów pokazać, że matematyka jest cudownie logiczna. Czy studia ukończone na Uniwerytecie Warszawskim i 5 na dyplomie są gwarancją dobrego nauczania matematyki? Czy tacy nauczyciele nie zrażają do przedmiotu?
Piszesz:
„„Czego zatem uczą się studenci matematyki? Czy oni dyskutują na ćwiczeniach o tym, że liczby są jednocześnie licznościami zbiorów i proporcjami?”
Zależy jacy studenci i jakiej uczelni. Studenci matematyki w Oxfordzie czy na Uniwersytecie Warszawskim dyskutują (a przynajmniej jeszcze kilkanaście lat temu dyskutowali) takie zagadnienia.”
Moje dzieci były uczone przez matematyków, którzy ukończyli renomowane polskie uniwersytety i z lekcji matematyki wyniosły przeswiadczenie, ze matematyka, to czarna magia. Ty piszesz, że na dobrych uniwerytetech dyskutuje się o pojęciach matematycznych, ale tam przecież kształci się nauczycieli!!! Gdzie są zatem ci, którzy rozumieją, o co chodzi???????
Na koniec piszesz:
„Dlatego (nie tylko dlatego!) warto czytać Euklidesa, który zaczynając od geometrii, buduje później arytmetykę, ale nie oderwaną od reszty matematyki, tylko zrośniętą i wynikającą z geometrii.”
To jest dokładnie to, co wynika z badań mózgu!!! Zacząć od geometrii!!!
Trudno mi odnieść się do wszystkiego, co napisałeś, bo w zasadzie każdy punkt jest ważny!!! Skopiowałam sobie Twoją odpowiedź i myślę, że będę do tego jeszcze wracać.
To, co napisałeś o geometrii (pisał o tym Waldek Zabieski z Kanandy – tam, kierując się wnioskami płynącymi z neuronauk, matematycy zmienili sposób nauczania matematyki i rozbudowali geometrię).
A połączenie matematyki i fizyki, to kolejny temat rzeka, bo fizyka, to przecież konkret. Na pewno wrócę do tego tematu!!!
Dzięki za tak wyczerpującą i bardzo ciekawą odpowiedź
Konstatacja Pawła, że na lekcjach matematyki trzeba rozmawiać, jest ze wszech miar słuszny!!! Polskie badania pokazują, że takich rozmów na lekcjach matematyki dziś nie ma.
” Matematyki uczy się w sposób abstrakcyjny. ”
Mamy spór nie rzeczowy, a językowy.
Gdy ja mówię o zdolności dzieci do rozumienia abstraktów i że nie mają z tym problemu, to mówię o zdolności dzieci (i to silniejszej, niż u większosci dorosłych) do pojmowania zależności pomiędzy bytami platońskimi a światem materialnym, do platońskiego realizmu i interesowania się światem platońskim. Twierdzę też, że należy dzieciom w tym oglądnie nie przeszkadzać, przenosząc przedmiot zainteresowania do naszej jaskini i odbierając sens zajmowaniu się bytami idealnymi.
Gdy Klus-Stańska mówi o uczeniu w sposób „abstrakcyjny” mówi o oderwaniu od rzeczywistości (zarówno materialnej, jak i platońskiej) i uczeniu niezrozumiały, niespójny i izolowany sposób o bytach nie mających (dla dziecka) sensu.
J.Piaget – ok, zgodzę się, że miał trochę zasług. Cieszyłbym się, gdybyś Ty powiedziała, że Skinner też ich trochę miał.
Obaj mieli. I na ich nazwiskach czy na ich pomysłach zbudowano następnie ideologie pedagogiczne, z których piagetowska budzi we mnie równe obrzydzenie, co behawiorystyczna.
Wierzę, że nie czytali Piageta (też zresztą nie czytałem), podobnie jak nie szytali Skinnera. Sądzę, że nawet Semadeni nie czytał Skinnera, a nawet jeśli, to nie do niego samego, tylko do „pedagogiki behawiorystycznej” się odwołuje, domagając się określenia celów szkoły przez jednoznacznie mierzalne wycinkowe umiejętności uczniów (typu: „uczeń stosuje wzory skróconego mnożenia”), a do pedagogiki piagetowskiej odwołuje rugując ze szkoły zagadnienia abstrakcyjne (sprawę niewymierności — co Paweł bardzo starannie skomentował) i rzeczy trudne (a trudne jest wszystko, co nie jest zupełnym bzdetem, na przykład elipsy).
Tak samo, jak metodologiczne przesłanie Skinnera o poznawaniu procesów psychicznych na podstawie obserwacji zachowań zostało wyrodzone w szkołę tresury, tak samo przesłanie Piageta, że nie należy wymagać rzeczy niemożliwych, przekształciło się w karmienie dzieci przeżutą papką najtrywialniejszych bzdetów, bo wszystko inne „jest za trudne”.
„To niczego nie wyjaśnia, bo nauczyciele po studiach matematycznych nie są lepsi i nie potrafią większości uczniów pokazać, że matematyka jest cudownie logiczna.”
Znałem kilku, którzy potrafili. I wszyscy z nich pokończyli matematykę albo fizykę na UW albo UJ, w ramach normalnych studiów, a nie specjalności pedagogicznej.
Drugim czynnikiem jest program szkolny, któremu podporządkowany jest nauczyciel. Nawet ja nie potrafię przekonać kogokolwiek, że liczenie słupków i zadań na przecenę spodni jest piękne i fascynujące. W programie szkolnym w ogóle nie ma matematyki. Są rachunki, mające z matematyką tyle samo wspólnego, co nauka posługiwania się łopatą z geologią.
A w tych szkołach (np. Staszic), gdzie uczy się matematyki, a nie programu szkolnego i uczą jej matematycy akademiccy (z Wydziału Matematyki, a nie z Pedagogiki), potrafią pokazywać piękno tej nauki.
„Ty piszesz, że na dobrych uniwerytetech dyskutuje się o pojęciach matematycznych, ale tam przecież kształci się nauczycieli!!! Gdzie są zatem ci, którzy rozumieją, o co chodzi???????”
Wybierają inne zawody, uczą (jak ja) hobbystycznie, a jeśli już uczą w szkołach, to w niszowych, jak Staszic, czy szkoły społeczne. Nikt, kto sam odczuwa piękno matematyki i chciałby je pokazać komuś innemu, nie pójdzie do pracy, w której będzie rozliczany z tego, czy zgodnie z planem realizuje tematy dodawania ułamków i czy skutecznie przygotowuje do egzaminu z liczenia przeceny spodni.
Podobnie jak ktoś fascynujący się geologią raczej nie wybiera kariery brygadzisty od kopania rowów.
„To jest dokładnie to, co wynika z badań mózgu!!! Zacząć od geometrii!!!”
Zwracam tylko uwagę, że do tego nie trzeba neuronauk. Z powodzeniem to podejście stosowano przez ponad 2000 lat przed ich powstaniem i chyba dopiero pruska szkoła postawiła na trywialną praktyczność rachunków, jako jedyne czego warto i (czego da się) nauczyć dzieci niepiśmiennych wieśniaków, mając za nauczycieli emerytowanych feldfebli, którzy sami ledwo umieli liczyć i pisać.
„A połączenie matematyki i fizyki, to kolejny temat rzeka, bo fizyka, to przecież konkret. Na pewno wrócę do tego tematu!!!”
Nie przesadzajmy z tą „konkretnością” fizyki. Tu zresztą wracamy do sporu o to, co jest „konkretem”, a co nie. Spór, równie nierozstrzygalny, co pomiędzy Roscelinem a św.Anzelmem (Ty tu jesteś na pozycji Roscellinusa, a mi zdecydowanie bliższy jest Anzelm).
W każdym razie bardzo niewielka część fizyki jest „namacalnie konkretna”, a sporo jej zagadnień (i to te najbardziej wciągające) dotyczy zjawisk w świecie codziennym nie występujących, albo ukrytych przed bezpośrednim, cielesnym doświadczeniem.
Jako główne powody łączenia fizyki z matematyką widzę:
— łatwość tworzenia przez fizykę motywacji i uzasadnienia dla skądinąd nudnych i mało interesujących działów matematyki, jak przekształcenia algebraiczne, rozwiązywanie układów równań, rachunek różniczkowy;
— pokazywanie związku nauk między sobą;
— oszczędność czasu — nie powtarza się tego samego dwa razy;
— uspójnienie programów i wprowadzanie pojęć i narzędzi matematycznych wtedy i takich, jakie potrzebne są w akurat dyskutowanych problemach fizycznych.
„Konstatacja Pawła, że na lekcjach matematyki trzeba rozmawiać, jest ze wszech miar słuszny!!! Polskie badania pokazują, że takich rozmów na lekcjach matematyki dziś nie ma.”
A na innych lekcjach sądzisz, że są???
Pracuję teraz nad czyms innym, ale matematyka wciąż nie chce zejść na drugi plan 😉
Czy na innych lekcjach są rozmowy i prawidziwe dyskusje? W tym cały dramat szkoły, że nie! Nawet na lekcjach języków obcych, na których dominuje metoda komunikacyjna, sa jedynie symulacje rozmów, a nie prawdziwe rozmowy. Wszystko sterowane, wszystko zgodnie z programem, wszystko sztuczne i bez życia. Chyba, że jest nauczyciel, który …, no albo w niszowych szkołach.
Ale chcę jeszcze wrócić do Twojego poprzedniego wpisu.
Dałeś piękny przykład, jak jasno można „wyjaśnić” przymiotnikową naturę liczb na bazie doświadczeń cielesnych. Rozmawiając o liczbach w kuchni podczas pieczenia ciasta, dziecko może tego wszystkiego doświadczyć. Widzi, robi (odmierza, waży) i rozumie. To właśnie postuluje Mirosław Dąbrowski.
„Piekąc ciasto bierzesz 0.75kg mąki i 3 jajka.”
Gdy nauka nie odwołuje się do takich doświadczeń, wszystko staje się abstrakcyjne, a mózg nie potrafi łączyć jednego z drugim.
Teraz wracam do mojej pracy 😉
Zwróć tylko uwagę, że do tych doświadczeń wystarczy odwoływać się werbalnie, bez wstawania z krzesła. Nie musisz piec tego ciasta, by zrozumieć sens mojej wypowiedzi i uświadomić sobie, że jednak Ty też masz uwewnętrzniona podświadomą dualną interpretację liczb. Jeszcze lepszym od ciasta przykładem, byłaby zapiekanka, w skład której wchodzą dwa kilogramy kartofli i dwie duże cebule.
Nie musisz piec tego ciasta czy zapiekanki — wystarczy, że ja się odwołam do Twojego wyobrażenia o tym i wspomnienia z doświadczenia życia codziennego.
Nie domagaj się więc (a tak niestety odbieram Twoje postulaty odkrzesławiania i namacalności) by szkoła zajmowała się pieczeniem ciast i zapiekanek. Doskonale wystarcza, jeśli w werbalny sposób odwoła się do wspomnień i wyobrażeń, obecnych w umysłach siedzących na krzesłach dzieci.
Dziecko, nawet przedszkolne, tak samo jak i Ty rozumie różnicę interpretacyjno-znaczeniową pomiędzy „dwa” w „2kg kartofli” a „dwie duże cebule” bez konieczności przynoszenia cebul, kartofli i wagi do klasy, nie mówiąc już o piekarniku i poświęcania godziny na prace kuchenne.
I o ile w przedszkolu robienie ciasta czy zapiekanki może być rozwijającą i uczącą innych rzeczy (np. manualnej czynności obierania kartofli) zabawą, o tyle już nawet w szkole podstawowej doskonale wystarczy powiedzieć o tej mące i jajkach.
PS.
To ja idę robić zapiekankę…
Zbliża się czas obiadu…
Świetnie to ująłęś!!! jest dokładnie tak, jak piszesz. Jeśli ma się wcześniejsze doświadczenia, na których można budować rozumienie szkolnych abstrakcji i do których można się werbalnie odwołać, to wszystko w porządku.
A jeśli dzieci odpowiednich doświadczeń nie mają? I znów odwołam się do badań, bo uważam, że moje osobiste doświadczenia to zdecydowanie zbyt mało, choc ze szkołami mam kontakt cały czas. Otóż te badania pokazują (Dziecko w szkolnej rzeczywistości pod red. H. Sowińskiej), że nauczyciele zupełnie nie interesują się tym, co dzieci na dany temat wiedzą i jakie mają doświadczenia.
Napisałeś:
„Nie domagaj się więc (a tak niestety odbieram Twoje postulaty odkrzesławiania i namacalności) by szkoła zajmowała się pieczeniem ciast i zapiekanek.”
Tak, domagam się odkrzesłowienia, bo nawet mnie trudno jest wysiedzieć 6 -7 godzin słuchając innych. Domagam się prawa do uczenia się przez własną aktywność i domagam się prawa do różnych form poznawania świata. Nie neguję roli języka, jest nie do przecenienia, ale wiemy już (patrz J. Bauer), że ludzie uczą się również w sposób utajony i przedwerbalny.
Cóż byłoby Twoim zdaniem złego w uczeniu się w szkole pieczenia zapiekanek i w oparciu o zdobyte tam doświadczenia, poznawaniu matematyki? Uważam, że w przedszkolu, ale RÓWNIEŻ w szkole podstawowej można świetnie uczyć się matematyki w kuchni. Ale Tobie nie muszę tego udowadniac, bo Tym sam jestes autorem najciekawszych doświadczeń, które pozwalają DOŚWIADCZYĆ prawidłowości, które uczniowie mają poznać.
Tylko potem wpadasz w jakąś sofistyczną, schizofreniczną dziurę i negujesz sens własnych poczynań, które ja uważam za genialne.
Wiem, że znów obrócisz kota ogomen i będziesz mi wyjaśniał, że Twoje doświadczenia służą czemuś innemu niż służą. Wyjaśniaj sobie, ile chcesz, ale wszystkie Twoje eksperymenty mówią same za siebie 🙂
Otóż wszystkie Twoje wykręty na nic 🙂
Robisz te doświadczenia, uczniowie topią lód, mierzą meandry lub tęczę własnie po to, by zobaczyć, poczuć, doświadczyć i na tej podstawie zrozumieć sens pojęć.
Cokolwiek napiszesz nie zmieni faktu, iż gdybyś nie uznawał tej formy uczenia się za dobrą, to byś tego nie robił. Jeśli słowa byłyby wystarczające, to Twoi uczniowie siedzieliby na krzesełkach i słuchali tego, co mówisz. ALE NIE SIEDZĄ!!!!!!
Xawer, Ty najlepiej pokazujesz, jak można z sensem odkrzesłowić dzieci i jak dobre są owego odkrzesłowienia efekty. Schizofrenia, która każe Ci z jednej strony stosować metody aktywne, a z drugiej bronić monopolu nauki opartej na przekazie werbalnym, jest czymś fascynującym. Logiki w tym za grosz, ale przecież jest to bardzo ludzkie. Niestety nie jesteśmy logiczni.
Podsumowując:
Staram się wyjasniać, jak mogę, że pojęcia i abstrakcje opierają się na wcześniejszych doświadczeniach zmysłowych i cielesnych. Gdy ich nie ma, pojęcia nie mają w mózgu odpowiednich połączeń.
Domagam się, by uczniowie w szkołach mogli się uczyć tak, jak uczą się Twoi i by byli odkrzesłowieni tak, jak Ty odkrzesławiasz swoich. Co oczywiście nie znaczy, że potem nie mogą usiąść, dyskutować, liczyć, czytać.
Przecież u Ciebie jest i to i to, a więc ten las mieszany, o który się wciąż uparcie dopominam.
A potem w schizofrenicznym szaleństwie bronisz monopolu nauki opartej na przekazie werbalnym i abstrakcjach.
Smacznej zapiekanki 🙂
Nauka JEST oparta na abstrakcjach i na werbalnym przekazie. Kultura JEST oparta na przekazie werbalnym i abstrakcjach. Doświadczenie w naukach EMPIRYCZNYCH ma znaczenie fundamentalne, jednak nawe w nich nie wyczerpuje ani całości warsztatu, ani całej treści.
Przypominam – Kopernik sformułował swoją koncepcję WBREW DOŚWIADCZENIU, bo ono tej koncepcji przeczyło. Einstein swoją pierwszą teorię sformułował z kartką, ołówkiem i kilkoma książkami.
Nie istnieje żadne fizyczne doświadczenie, o cielesnym nie wspominając, które miałoby cokolwiek wspólnego z niewymiernością pierwiastka z dwóch. Nie mam miary pozwalającej szacować wielkości wiedzy itd. Tyle wiem, że w matematyce jest mnóstwo rzeczy podobnie pozbawionych jakiegokolwiek związku z czymkolwiek rzeczywistym. Kiedy się nagle okazuje, że niektóre z nich mogą mieć fizyczne reprezentacje, to jest to odkrycie niemal metafizyczne. W fizyce jest często podobnie – tu dociekania polegają na poszukiwaniu fizycznego istnienia modeli, a więc kierunek jest odwrotny niż od doświadczenia do uogólnień.
Paweł napisałeś:
„Będę się również zawsze upierał przy obronie abstrakcji i protestował przeciw nadawniu jej negatywnych znaczeń.”
Takie sformułowania sugerują, że ja im nadaję jakieś negatywne znaczenia. Nie, nie nadaję. Mam takie wrażenie, że jeśli użyję słowa, które Tobie negatywnie się kojarzy, to nie patrzysz, jaki ono ma U MNIE sens, tylko od razu wpisujesz mnie w swój układ współrzędnych, gdzie po jedenj stronie jest prof. Kłakówna (którą ogromnie cenię i lubię), a po drugiej Semadeni i Ken Robinson i juz zaczyna się jazda po równi pochyłej. Skutkiem tego muszę tłumaczyć się z rzeczy, których nigdy nie byłam rzecznikiem. W tej ostatniej dyskusji, im bardziej Ci tłumaczyłam, że absolutnie nie jestem przeciwnikiem kanału werbalnego, tym bardziej spychałeś mnie na taką pozycję. To było dla mnie strasznie bolesne doświadczenie. Myślę, że tak czują się też dzieci w dzisiejszej szkole. Nikogo nie interesuje, co one rzeczywiście myślą.
Nie wiem czemu nie chcesz przyjąć tego, co ja rzeczywiście myślę i piszę, więc powtórzę po raz kolejny.
Abstrakcje powstają w oparciu o doświadczenia zmysłowe i cielesne. Bez tych ostatnich abstrakcje nie mogą się wykształcić. O tym pisał nie tylko Wygotski, na którego się tak często powołujesz, ale również wielu konstruktywistów, np. Ernst von Glasersfeld. A to przecież filozof, który zajmował się procesem konstruowania wiedzy. W tym sensie Piaget miał rację. U dzieci, które nie miały odpowiednich doświadczeń, werbalne wyjaśnienia były zupełnie nieskuteczne. Tylko że on nie robił tego założenia. Ale Glasersfeld i inni konstruktywiści twierdzą, że rzeczywiście jest taka część wiedzy, której w sposób werbalny przekazać się nie da. Badacze mózgu to potwierdzają, np. prof. Bauer, który zajmuje się neuronami lustrzanymi. Przyjmuje się też, że zdecydowanie większa część wiedzy, jaką mamy, ma charakter utajony.
Ja osobiście optuję za szkołą, w której jest miejsce i na doświadczenia (jak u Xawra) i na przekaz werbalny i na muzykę, teatr, dyskusje, książki …
Zgadzam sie z Tobą, że dzisiejsza szkoła w niespotykany sposób wszystko upraszcza, spłyca i trywializuje. O tym przecież napisałam książkę. Ale nie mówię, że mam gotowe recepty i nie mówię, co znów sugerowałeś, że do poprawy sytuacji wystarczą drobne zmiany. Uważam, że szkołę trzeba dziś wymyślić od nowa. Potrzebujemy badań i szkół ćwiczeń.
Teraz idę robić ostatnią korektę, bo właśnie przyszła przesyłka z „Neurodydaktyką”. Mój wydawca obiecał, że do końca miesiąca będzie na rynku.
Paweł,
mówimy o początku, a nie o końcu drogi. Dzieci wkraczają na drogę do wiedzy, a Kopernik czy Einstein to wybitne jednostki. Dzieci nie mogą zaczynać tam, dokąd nauka zaprowadziła najwybitniejsze jednostki. Czy Ty tego nie widzisz??? Mylisz początek z końcem.
Najpierw są doświadczenia cielesne, a dopiero potem zdolność budowania na nich abstrakcji.
Nie sądzę, bym Cię przekonała, bo Ty już wiesz, jak JEST 😉
To tzw. stwierdzenia zamykające. Nie piszesz, że Ci się wydaje, tylko że tak JEST. To znamienne. Ty jesteś pewien, że kultura jest oparta na przekazie werbalnym, hm … to bardzo oryginalna teza.
Poczytaj o kodach i wzorcach kulturowych (np. „Zniewalająca moc kultury” Andrzeja Szahaja”). Pawle upraszczasz bardzo skomplikowane zjawiska. Twoja niewzruszona pewność, oparta na ….???? zamyka Ci drogę …, szkoda.
Zabieram się za korektę.
Xawer,
Wszyscy jesteśmy niewolnikami własnych metafor, a one mogą być złudne, jak piękne kobiety, mawiał pewien fizyk. Dlatego nie trzeba się do nich (metafor 🙂 przywiązywać.
Marzena,
Napisałaś kilka zdań, które we mnie wywołują sprzeciw, albo które grożą uproszczeniami, jeśli się nie wyjaśni, o czym mowa. Ksaweremu napisałaś więc na przykład: „A potem w schizofrenicznym szaleństwie bronisz monopolu nauki opartej na przekazie werbalnym i abstrakcjach.” Tu waga – nie trzeba schizofrenicznego szaleństwa, ponieważ nauka JEST oparta i na werbalnbym przekazie, i na abstrakcjach. To do nich wychowujemy dzieci. Z Twojego zdania nie wynika, że mamy do tego nie wychowywać, oczywiście. Ja przypominam, że być może w szkole powinno CHODZIĆ właśnie o przekaz werbalny i o abstrakcję. Że niekoniecznie kwestia polega na równorzędności różnorodnych kanałów.
Napisałaś również, że „proces uczenia się dziecka przebiega od konkretu do abstrakcji, a nie odwrotnie”. To zaś jest nie zawsze prawdą. Uogólniające argumenty, owszem, zawsze okażą się prawdziwe, ale staną się tautologią, w której liczyć się będzie np. to, że poznające abstrakcję dziecko było kiedyś niemowlęciem, a skoro jego rozwój jest ciągły, to i wszystko w tym cielesnym i niewerbalnym niemowlęctwie ma swoje korzenie. No, ma – dalibóg nie wiem, co ma z tego wynikać dla np. pojęcia niewymierności, czy czasu zaprzeszłego, o który się kiedyś impertynencko dopytywał Ksawery. Powtarzam, nie wiem, gdzie jest większość, bo nie mam tutaj miary, ale akurat w matematyce mnóstwo pojęć ma podobnie niecielesny charakter. Nie znajdziesz dla żadnego z nich żadnej namacalnej podstawy. One właśnie dlatego są fajne, że choćbyś się wściekła – nie znajdziesz. Równoliczność zbierów nieskończonych – żeby wyjaśnić rzecz dokładniej – np. zbioru liczb parzystych i wszystkich liczb naturalnych jest wręcz przeciwintuicyjna. Namacalne doświadczenia tutaj zatem przeszkadzają i chodzi właśnie o to, by je przełamać. Na tym polega radość z odkrycia tej równoliczności. Szkoła tego nie uczy i nigdy nie uczyła – wyjaśniam dla uspokojenia.
Napisałaś też: „‚Piekąc ciasto bierzesz 0.75kg mąki i 3 jajka.’ Gdy nauka nie odwołuje się do takich doświadczeń, wszystko staje się abstrakcyjne, a mózg nie potrafi łączyć jednego z drugim.” To z kolei sugeruje, że abstrakcyjne znaczy niezrozumiałe. Ponieważ te dyskusje się toczą nie od wczoraj, wiem, że w rzeczywistości chcesz dać abstrakcji właśnie ten konkretny początek, by „od konkretu do abstrakcji” itd.
W końcu przecież napisałaś również, że „przyjmując założenie, że można iść od abstrakcji do konkretu, nie widzimy problemu w tym, że dzieci uczą się na pamięć definicji prostej i odcinka, nic z tego nie rozumiejąc.” Z tego nie wynika, że nie chcesz uczyć definicji prostej i odcinka, a tylko, że nie od niej chcesz zaczynać. Problem w tym, że to są albo rzeczy dość oczywiste, albo z gruntu błędne. Oczywiste, bo każdy, kto kiedykolwiek próbował spowodować u ucznia zrozumienie definicji i napotkał opór, w pierwszym naturalnym odruchu odwoływał się zawsze do przykładu, ilustracji, czegokolwiek. Niekoniecznie aż „namacalnego”, ale często tak. Każdy, kto sam rozumie definicję i abstrakcję. Tylko bezrozumny belfer, którego bezrozumność objawia się niezrozumieniem wykładanego pojęcia, każe ją dzieciom wkuć. Błędnie – i to koszmarnie błędnie – jest natomiast przyjmować za cytującym tu Piageta Semadenim, że dziecko tę abstrakcję skonstruuje z własnych, miesiącami powtarzanych doświadczeń. Te doświadczenia bardziej ogłupiają niż budują pojęcia w naturalny sposób. Napisałaś także:
„Najnowsze badania dotyczące nauczania matematyki w Polsce (Klus-Stańska, Gruszczyk-Kolczyńska, Kalinowska, Dąbrowski, patrz. Raport o stanie edukacji 2010, wyd. W 2011) wskazują na coś dokładnie odwrotnego. Matematyki uczy się w sposób abstrakcyjny.”
Tu być może warto się zatrzymać, bo czegoś nie rozumiem. Raport o stanie edukacji przestudiowałem pilnie, włacznie z cytowanymi w nim danymi źródłowymi itd. Włącznie też z tym, by sobie poszukać innych prac na pokrewne tematy i dowiedzieć się o nich czegoś ze źródeł innych niż autorzy. Gruszczyk-Kolczyńską w tym raporcie znalazłem. Nie znalazłem śladu o tym, że szkoła uczy abstrakcji. Tam jest wiele o tym, że uczy bezmyślności.
Przeciw abstrakcji jawnie wypowiada się podstawa programowa i wiele zaleceń metodycznych. Nauczyciele nie uczą definicji. Nie ma kwestii, czy od nich powinni zaczynać, czy na nich kończyć. Definicje i abstrakcje w szkole zdelegalizowano. Nikt już ich nie zna i nie rozumie. To jest pierwszy problem szkoły, moim zdaniem. Dzieci nie uczą się na pamięć definicji odcinka. Uczą się na pamięć wzoru na kulę, wzorów skróconego mnożenia, algorytmów działań pisemnych. To, czego w rzeczywistości brakuje w „nauczaniu” wszystkich tych rzeczy, to właśnie definicje, abstrakcje i rozumienie.
Być może to jest więc różnica w diagnozie, a być może jednak w rozumieniu np. abstrakcji i jej roli. Tego nie wiem, od jakiegoś czasu usiłuję się zorientować, czytając co piszesz – jak widzisz – nie tylko uważnie, ale również starając się przyjmować maksymalnie życzliwe założenia we własnych domysłach. Tyle w każdym razie wiem, że w oczach ludzi po szkole jaką znamy, zarówno definicja odcinka, jak wkuty bez zrozumienia wzór na kulę są abstrakcjami. Nie są – wzór, którego pochodzenia się nie pojmuje, jest protezą w bezrozumnym umyśle. Nie mam prawa przypisać Ci tego fałszywego i groźnego utożsamienia. Znalazłem raptem jeden ślad takiej możliwości, kiedy w dawnym już komentarzu wymieniłaś na jednym oddechu abstrakcje z formułkami.
Piszesz też jednak, że „zdecydowanie większa część wiedzy, jaką mamy, ma charakter utajony.” I tu jest najgorzej, bo tu prawdopodobnie różnimy się istotnie, a kwestia jest trudna. Tylko przypomnę, że „zdecydowanie większa część wiedzy” to nieszczęśliwe sformułowanie, bo nie wiemy, jak mierzyć wielkość wiedzy, a ta niewiedza prowadzi do częstych absurdów, jak bezrefleksyjne cytowania danych o tym, że zasoby wiedzy podwajają się np. co ileś lat. Niech będzie, że znamy miarę i niech ona będzie np. tak określona, jak to przy pomocy mocy obliczeniowej definiował w swoim tekście Crabtree.
Czy szkoła jest od rozwijania tej wiedzy utajonej? Myślę, że stanowczo nie! Rozumni ludzie mają się w niej kształcić i – o ile tylko nie jest to szkoła tańca, szkoła muzyczna itd. (to są ważne rzeczy, ale nie o nich rozmawiamy mówiąc o matematyce, ale i również o historii, jęz. polskim itd.) – mają się kształcić w wiedzy świadomej i w zdolnościach do świadomej refleksji. Oczywiście prawdą są wszystkie te spostrzeżenia o pracy zespołowej, empatycznych odruchach itd. O całym pakiecie null curriculum, o którym nie wolno zapominać, a on w polskiej szkole wygląda fatalnie. Kiedy mówimy o kształceniu przedmiotowym, to tutaj raczej jednak całość wiedzy ma charakter jawny, a kanał nie tylko werbalny, ale wręcz transmisyjny ma ogromne znaczenie. Istnieje powód praktyczny: gdyby dzieci miały koniecznie pomacać wszystko, co poznają, nie poznałyby wiele. Istnieje też powód kulturowy – zdolność kulturowej transmisji wydaje się warunkiem istnienia kultury, a ta zdolność jest dzisiaj w zaniku. Gdzie indziej zwracałaś uwagę, że również większość (znów kłopot z tą większością) przekazów kulturowych ma niejawny charakter. Zgoda – niejawne przekazy istnieją. Ale to są rzeczy, które dotyczą np. kulturowej definicji płci, więc rzeczy złe i powszechnie z tego powodu krytykowane. Przełamać ograniczenia płci kulturowej da się właśnie ujawniając i uświadamiając te rzeczy.
Ach, skoro o Einsteinie i Koperniku mówisz, że mylę początek z końcem, to przypomnij sobie własny spór z Ksawerym ileś wpisów wstecz. Tam była mowa o naukowcach, którzy badają doświadczalnie, a nie siedzą, czytając czyjeś książki, na co z Ksawerym usiłowaliśmy Ci zwrócić uwagę, że każąc dzieciom powtarzać wszystkie doświadczenia, skażesz je na bardzo powolny i nieefektywny rozwój. Biorąc pod uwagę przywołane tu rozróżnienie pomiędzy uczącym się dzieckiem, a dorosłym naukowcem dokonującym odkrycia w drodze eksperymentu, powiedziałbym również z tą samą niepoprawną pewnością, że całość wiedzy naukowca wzięła się z transmisji – z wyjątkiem tego jednego odkrywczego eksperymentu, który przeprowadził sam: kiedy wiśnia zerwana samodzielnie smakowała inaczej.
Moje duże litery o tym, czym jest nauka i kultura wynikają oczywiście z rozpaczy, że to w ogóle trzeba przypominać. Owszem, jestem tego pewny, przy całej świadomości niejawnych przekazów z jednej, a mrocznych korzeni ludzkiej jaźni z drugiej strony. Jeśli np. Bobiński uważa, że dzieci mają szansę uczestniczyć w kulturze, nie czytając książek, to pomimo faktu, że on jest polonistą, profesorem i autorem szkolnych podręczników, a ja nie – pozwolę sobie zachować własną niezachwianą i arogancką pewność. I przekonanie, że mamy tu w rzeczywistości do czynienia ze sporem bardzo fundamentalnym i on w gruncie rzeczy dotyczy właśnie zgody lub niezgody na tego typu upadek po prostu.
„A jeśli dzieci odpowiednich doświadczeń nie mają?”
Boże! Toż nie badań tu trzeba, ale zdrowego rozsądku.
Jaki odsetek dzieci w I klasie szkoły podstawowej nigdy nie było świadkami tego, jak ich mama, babcia, niania Ukrainka albo ojciec robią obiad?
Zapewne są takie, wychowywane w domach dziecka albo skrajnie patologicznych rodzinach. Ale to jest znikomy margines populacji, który nie może wyznaczać punktu startowego dla edukacji jaką adresuje się w zunifikowany sposób do wszystkich dzieci.
„Cóż byłoby Twoim zdaniem złego w uczeniu się w szkole pieczenia zapiekanek i w oparciu o zdobyte tam doświadczenia, poznawaniu matematyki?”
To, że temat liczb rozmyłby się w tym, że cebula się przypaliła, a Zosia jest wegetarianką, więc boczku do zapiekanki nie można dodać, a przy tym coś, co w normalnej dyskusji (nie wybijając z niej) zajmuje minutę, trwałoby godzinę i pożytki z tego dla zrozumienia różnic interpretacyjnych liczb byłyby mniejsze, niż z trzech minut dyskusji bez ilustrowania jej fizycznym piekarnikiem.
Podobnie, jak zapewne ucząc dzieci słówka „Der Elefant” wystarczy ci rysunek w książce albo slajd, ale nie będziesz organizować dla tego jednego słówka wycieczki do ZOO.
„Robisz te doświadczenia…”
Po pierwsze robię ich bardzo mało — one stanowią około 10% czasu moich zajęć. Po prostu je opisuję, a zajęć kartkowo-ołówkowych — nie. Równie dobrze mogłabyś sądzić, że wszyscy władcy europejscy nie zsiadali z konia (tylko po to, by akurat ożenić się albo umrzeć), bo jedyne, co o ich panowaniu czytamy, to kiedy i z kim się tłukli militarnie. Za to ich żony wyłącznie rodziły dzieci, z niepokalanego poczęcia oczywiście (poza angielskim Henrykiem VIII, gdzie sprawy alkowiane też przeszły do historii).
Po drugie: te doświadczenia wykraczają poza to, co każdy i tak już doświadczył w życiu codziennym.
Po trzecie: nośność poznawcza tych doświadczeń (czyli rozpiętość tematów na nich zaczepionych) jest o kilka rzędów wielkości większa, niż robienie zapiekanki, by uświadomić, że inaczej interpretujemy 2 w „2kg kartofli”, a co innego w „2 cebule”. Tu słowo nie tylko doskonale wystarcza, ale jest lepsze (bo nie rozprasza i nie przeciąga) niż nawet pokazanie cebul i siatki kartofli, bez ich obierania i smażenia.
To, czego nie chcesz zrozumieć w odniesieniu do moich lekcji doświadczalnych, to ich cel i sens, którym nie jest bezpośrednie uczenie się, tylko: podtrzymywanie/rozbudzanie motywacji do uczenia się oraz sprawdzanie czy wiedza, jakiej się uczymy werbalno-krzesłowo-ołówkowo-dyskusyjnie rzeczywiście stosuje się (i w jakim stopniu) do świata realnego.
„Smacznej zapiekanki”
Dzięki! W końcu zrobiłem nie zapiekankę, a Bauernfrühstück — też były kartofle (choć mniej niż 2kg) i dwie cebule…
Jeśli wolno, uważam, że znęcania się nad Semadenim nigdy dość. Ta rozmowa o matematyce bynajmniej nie schodzi na poziom szczegółu, a jednak – obawiam się – sprawia takie wrażenie. Co i raz Wiesław na przykład wtrąca swoje „a wy ciągle o matematyce”. Otóż nie – Ksawery słusznie zauważa, że szkolne rachunki mają z matematyką tyle wspólnego, co machanie łopatą z geologią. Rozmawiamy o głupocie wdrukowanej w szkołę i się od iluś pokoleń reprodukującej, co dotyczy wszystkich zaangażowanych, nas tutaj nie wyłączając. To, o czym rozmawiamy, to najzwyczajniej cywilizacyjny upadek i tak proponowałbym o tym rozmawiać. To między innymi z tego powodu nie wystarczy szukać drobnych korekt w „dydaktycznych podejściach”, a trzeba raczej zejść na poziom podstawowych wartości niezależnie od tego jak niebezpiecznie blisko filozoficznych marudzeń wtedy wylądujemy. Mnie chodzi o to, byśmy w tych rozmowach nie tracili z oczy perspektywy formacyjnej. Szkoła nie tylko nie nadąża za duchem czasu, ale również z drugiej strony niestety mu ulega. A z trzeciej go kształtuje i to również nie cieszy. Widzę np. daleko posuniętą odpowiedniość pomiędzy brykami lektur a jakością medialnej kultury. Itd. Przykłady da się mnożyć w nieskończoność. Wszyscy je znamy, więc powtarzać nie ma sensu.
Semadeni i jego komentarz doskonale to pokazują. Oczywiście nauczyciele nie tylko Piageta nie czytają, ale również nie czytają Semadeniego i jego podstawy programowej. Niemniej z tych rzeczy – a dobrze by było przeprowadzić systematyczną i rzetelnę analizę podręczników z tego punktu widzenia – da się odczytać (albo w drodze dekonstrukcji, albo całkiem wprost) dość przerażający obraz podstawowych założeń szkoły o dziecku, jego zdolnościach, oczekiwanych umiejętnościach i zadaniach nauczycieli, które się z tym wiążą. Ten model szkoły, który da się z tych rzeczy odczytać, jest w szkole obecny niezależnie od tego, co czytają nauczyciele. U ludzi przywiązanych do wartości kultury ten model powinien rodzić powszechny i bardzo fundamentalny bunt po prostu. To w żadnym razie nie są duperele. To jest bezduszna w swej piramidalnej głupocie, dokonywana przemocą operacja na całych generacjach – naszych i naszych dzieci. Czasem się zastanawiam, czy nie przypadkiem histeryzuję, ale – no, zajrzyjcie do tego tekstu i potem popatrzcie na wyniki – jestem przekonany, że przeciw takim rzeczom trzeba dokładnie tak samo protestować, jak kiedyś trzeba było przeciw systemowi. Nie dziwi mnie, że protestujących nie ma wielu, ani też nie mam pretensji do tych, którzy nie prostestują (a powody bywają podobne do ówczesnych). Dziwi mnie i wywołuje moją głęboką niezgodę fakt, że nie chcemy o tych rzeczach myśleć, jak właśnie o pryncypiach. A to są pryncypia. Chodzi o sokratejskie idee z jednej strony i o zglajszachtowanie wszystkiego do poziomu żenująco głupiej papki z drugiej.
Rozmowa o tym, czym są liczby, jest interesująca i dobrze by ją było proponować dzieciom (co zresztą sam robię). Intersujące są również rozważania, czy program a la Dobrow, o którym wspomina Devlin, opierający się na heurystycznych konstrukcjach Wygotskiego i przekonaniu, że ułamki są bardziej naturalne od liczb naturalnych – to też jest ciekawe. Oczywiście nie rozsztrzygałbym w żadną stronę. Ani w przypadku proponowanych dzieciom rozważań o naturze liczb (nie kazałbym im podzielać moich własnych platońskich przekonań – wielu je krytykuje jako głupoty i w ich argumentach jest wiele mocnych racji), ani w przypadku wyboru właściwej metody. Protestowałbym jednak przeciw rozmaitym wskazówkom metodycznym, w których nie widać wyraźnie po pierwsze świadomości głębokiej natury tego, czego chcemy uczyć, a po drugie celów. Z przerażeniem czytam o rozmaitych technikach uczenia dzieci tabliczki mnożenia na przykład. Tresura w tabliczce często powoduje urazy – o tym wiemy. Wiemy również, że można układać wierszyki, aranżować sceniczne przedstawienia itd. W ten sposób zdejmiemy z tego i traumę, i nudę. Będzie lepiej, ok. Ale nie wiemy, czy przypadkiem nie powodujemy w ten sposób czegoś, co dzisiaj da się obserwować: że liczby są dla dzieci obiektami bez znaczeń i bez struktury, że dzieci potem nie są w stanie rozumować.
Bardzo wyraźnie sam to widzę w sytuacjach związanych z algorytmami działań pisemnych. Przepraszam, że znowu o szczegółach matematycznych – ale tu bardzo wyraźnie widać, o co chodzi w szkole. Dzieci umieją mnożyć pisemnie. A równocześnie nie wiedzą o rozdzielności mnożenia względem dodawania, choć algorytm mnożenia pisemnego na tej rozdzielności się opiera. Te same dzieci mają narysowany odcinek składający się np. z trzech mniejszych. Prostą konstrukcją opartą na Talesie powiększają go np. dwukrotnie i jakoś – mimo nieświadomości rozdzielności mnożenia – wiedzą, że każda z trzech części odcinka również powiększyła się dwukrotnie, że zatem wszystko „działa”, że 2*(a+b+c) rzeczywiście równa się 2a+2b+2c. Obawiam się, że na tym – a nie na niczym innym – powinna polegać namacalność, której szukamy. Na takich rysunkach, odnajdowaniu takich relacji itd. Kilka razy do czegoś potrzebne mi były niedziesiętne systemy liczbowe. Otóż szkolne nieuki nie mają z nimi żadnych problemów. Dzieci wyszkolone w tabliczce mnożenia radzą sobie z nimi gorzej. Dzieci, które znają algorytmy pisemnych działań wymagają niemal elektrowstrząsów, by wreszcie spojrzeć na liczby takimi, jakimi one są w rzeczywistości. Nie mówię, że niedziesiętne systemy mają być elementem szkolnych programów i czymś, czego znajomości wymagamy od dzieci. Mówię, że chcę nauczyć dzieci myśleć – o czymkolwiek, np. o tym.
Piaget nie tylko ten błąd popełnił, że swoje progi poznawcze związał z wiekiem. Przede wszystkim powiedział – a Semadeni za nim przepisuje – że tu „słowne wyjaśnienia nie pomagają” i potrzebne jest własne doświadczenie dziecka. Fakt, że to powtarza tezę Marzeny artykułu o uczeniu się utajonym nie jest żadnym zarzutem w stosunku do tego tekstu. Ale może być. Nie ma niczego złego w fizycznym kontakcie z matematycznymi obiektami (np. kwadratami), ani ze spostrzeganiem geometrycznych zależności podczas spaceru. Wszystkie tego typu doświadczenia mają swoje zalety. Ale nie zwalniają nikogo z tej głównej i pierwszej w stosunku do spacerów, dram i macania rzeczy, którą jest myślenie z dziećmi. Z wyrabianiem umiejętności zwłaszcza przedświadomych trzeba bardzo uważać. Wśród wspomnianych dzieci niezdolnych do pojmowania systemów niedziesiętnych nie wszystkie miały urazy do matematyki. Były i takie, które matematykę (rachunki w rzeczywistości) lubiły. One właśnie miały ileś rzeczy zapisanych w tych rejonach mózgu, które dokonują nieświadomych czynności. Piageta pogląd, że stałości liczby nie da się wytłumaczyć jest zaś po prostu fałszywy. Pokazano to w badaniach. Nie jestem tu żadną miarą fachowcem i nie chcę oceniać tych badań. Tyle jednak wiem, że ich wiele istnieje i to falsyfikuje mnóstwo tez będących niewypowiedzianym fundamentem szkoły – że ileś rzeczy trzeba ćwiczyć i już, że bez liczenia nie da rady, że zaległości uniemożliwiają dalszą naukę, że dzieci trzeba do nauki zmuszać, że są dzieci zdolne i niezdolne, że wreszcie – to kolejny błąd Piageta, dotyczący tym razem najgłębszej treści jego ustaleń – dzieci powinny stykać się wyłącznie z tym, co dla nich łatwe.
Będę się również zawsze upierał przy obronie abstrakcji i protestował przeciw nadawniu jej negatywnych znaczeń. Nie jest tak, że coś, czego się da dotknąć jest naturalne i zrozumiałe, a coś, co jest abstrakcją jest niedostępne dziecku. To nieprawda – próbowałem pokazać, że językowe śmiesznostki dzieci oznaczają ich zdolność do kreowania abtrakcji, nie tylko jej rozumienia. Abstrakcja jest przede wszystkim wartością, którą w szkole powinniśmy budować, a nie zwalaczać. Z Ksawerego uwagi o 3/4 kg mąki i 3 jajkach w zrozumiałym dla każdego przepisie kulinarnym nie wynika przecież wizja, czym się mają kończyć szkolne rozumowania, a jedynie – jeśli cokolwiek „metodycznego” z tych uwag wynika – od czego się mogą zaczynać. Obawiam się jednak, że aby tak zacząć i nie wylądować w efekcie na poziomie charakterystycznych dla szkolnej mizerii, trzeba albo wiedzieć tyle, ile wie Ksawery, albo chociaż wiedzieć, że to tę wiedzę Ksawerego chodzi, że ona jest cenna, a nie przepis.
Przypatruję się tej dyskusji, liczeniu na palcach i nie tylko i proszę o komentarz sytuacji w której 3,5 latek w grze z tatą, po tym jak tata uzyskał 5 punktów i doszły mu kolejne 2 to dziecko orzekło w ciągu sekundy „teraz masz tata 7” bez paluszków, bez podpowiedzi. Uczę matematyki Domanem, czyli na szybko pokazywanych kropkach i działaniach.
Jak dla mnie, to jest to jeszcze jedna ilustracja tezy, że dzieci nie należy uczyć rachunków ani Domanem, ani niczym innym, tylko po prostu pozwolić im robić to, co lubią robić i grać z nimi w gry na punkty, a same z siebie się nauczą, że 2+5=7. Tego nie trzeba uczyć.
Najbardziej niepiśmienny masajski pasterz, który nigdy nie widział szkoły nawet z daleka, doskonale wie, że jeśli miał dwie krowy i dokupi jeszcze dwie, to będzie miał siedem.
Tyle, że krowy obchodzą tego Masaja, a punkty w grze obchodzą tego trzylatka. Robią to co chcą i jak chcą i nikt ich nie usiłuje wpychac w jakiekolwiek koleiny.
A zadania na dodawanie robione w klasie obchodzę wyłącznie nauczycielkę.
* miał pięć i dokupi dwie… 😉
No, dobrze – zajrzyjcie choćby tu. Tu jest zgodnie z metodą Domana. Czymkolwiek ona jest lub nie jest, pisze to ktoś, kto wie, że trzeba samemu rozumieć, czego się uczy.
http://www.zabawnanauka.pl/dziecieca-matematyka/
Bohaterką artykułu jest prof. Gruszczyk-Kolczyńska, którą tak chętnie przywołujesz. Zaznaczam, że w naszym przedszkolu nie uczymy wg Dziecięcej matematyki, m.in. z powodów wyjaśnionych w artykule.
Zdecydowanie lepiej rozwiązywać problemy – rozmawiać o nich, szukać znaczeń, eksperymentować ale i dywagować – musicie mieć jednak świadomość, że zwłaszcza wśród młodszych dzieci nie działa to tak, że wszystkich jednocześnie interesuje to samo. Luksus takiej indywidualizacji jest także niemożliwy w klasie szkolnej.
Zgadza się – właśnie dlatego ten artykuł cytuję. Na Gruszczyk-Kolczyńską powołuję się chętnie wyłącznie w kontekście tego, co podobno zbadała – że mianowicie zdolności matematyczne obserwuje u większości przedszkolaków i że one potem spadają dramatycznie w trakcie szkolnej nauki. Tym ciekawsze mi się to wydaje im bardziej Gruszczytk – Kolczyńska odpowiada na nauczanie szkolne. Za przedszkolne zresztą również w sporym stopniu, bo i tu jej podręczniki bywają wykorzystywane.
Zresztą po prawdzie ów fragment komentarza podstawy, gdzie mowa o problemie stałości liczby, mogła napisać właśnie Gruszczyk – Kolczyńska, a nie Semadeni, który całość podpisał. Jego jest bez wątpienia fragment o pierwiastku z dwóch – ten styl trudno byłoby podrobić.
Podobnie jest z Bobińskim w przypadku jęz. polskiego. Ten z kolei najpierw konstruował programy i podręczniki z chronologicznym układem lektur, w którym np. na 10 wieków średnich przypadają raptem dwa jakże fascunujące utwory (o Rolandzie i św. Aleksym), by dzisiaj jakże nowocześnie stwierdzać – jak Hartman dla przykładu – że z lektur należy rezygnować i czas się z tym, w zgodzie z duchem czasu, pogodzić. Brawo!
Otóż w jednym i w drugim przypadku mamy do czynienia z podobnym idiotyzmem i intelektualną impotencją. We wszystkich tego rodzaju przypadkach autorom reform, gniotowatych podręczników itd. ich dzieła uchodzą na sucho i nikt tego nie recenzuje (choć niedawno widziałem recenzję analizującą np. seksizm i lansowanie stereotypów w podręcznikach jęz. polskiego – recenzję krytyczną, acz po prostu skandalicznie głupią, a zamieszanych w nią było iluś równie cenionych autorów). Nikt już nawet nie myśli np. o zjawisku plagiatu w szkolnych podręcznikach. Wychodzą dwa kolejne, w 80% identyczne. Każdy ma innego autora. Nikt z nikogo nie zrzyna? Jak to? Owszem, jest pewnym utrudnieniem w ocenie fakt, że podręczniki zawierają klasykę (nie chronioną prawem autorskim) oraz oczywistości (które chronić również trudno) – a jednak spójrzcie na nie pod tym kątem. Już samo to każe mocno wątpić w intelektualne kwalifikacje autorów. O błedach, które oczywistościami nie są i które się powtarzają, nie wspomnę. Dołączcie do tego te całe towarzyskie grupy, który sobie nazwajem te wypociny recenzują pozytywnie. Autorzy podstawy autorów podręczników i na odwrót. Tu prof. Gruszczyk – Kolczyńska jest świetnym przykładem. Zaprawdę powiadam Wam, siostry i bracia w edukacji, krzesła w klasach to najmniejszy problem.
Trzeba więc zadać wolterowskie pytanie, czy okulary są dla nosa, czy nos dla okularów?
Albo: czy dzieci są dla szkoły, czy szkoła dla dzieci?
Jeśli nie wszystkie dzieci interesuje jednocześnie to samo, to może byłby to powód, żeby szkoła nie zmuszała ich wszystkich do robienia jednocześnie tego samego?
Zgadzam się! Ale o alternatywie trudno się dyskutuje, a mnie przedszkolance szczególnie. Już kiedyś pisałam, że na naszym szczeblu wolności jest dość dużo. W szkole o to trudniej.
Oczywiście, że Tobie łatwiej, zresztą z tego, jak opisujesz, co dzieje się w Twoim przedszkolu, to raczej nie wpychacie tam dzieci na prokrustowe łoże.
Pytanie jednak pozostaje zasadne. Nie z punktu widzenia nauczyciela, czyli funkcjonariusza systemu szkolnego, ale z punktu widzenia obywatela/wyborcy/ustawodawcy, czy rodzica.
Czy szkoła jest po to, by spełniać potrzeby dziecka, czy też po to, by dopasować dziecko do tego, co uważa za słuszne.
Jeśli szkoła nie jest w stanie zorganizować się tak, żeby spełniać indywidualne potrzeby każdego, to niech przestanie zmuszać tych, których potrzeb nie spełnia do korzystania z jej „usług”. Przymus szkolny w sytuacji, gdy szkoła nie spełnia potrzeb indywidualnych, staje się czystym przymusem, nie mającym już nic wspólnego z prawem do nauki. Z tego dialektycznego połączenia, zawartego w Konstytucji, zostaje już tylko drugi człon: przymus.
IBE będzie badał uwarunkowania decyzji edukacyjnych.
http://www.ude.edu.pl/
Czy to stanie się jakąś podstawą zmian? Na niektóre wymieniane determinanty nie mamy jako jednostki wpływu.
Właśnie wracamy tu znów do zupełnie podstawowej kwestii, którą omawialiśmy już wielokrotnie, czy nauka ma być aktem woli czy przymusu.
Przy okazji wstawiłam nawet link do piosenki Pink Floyd „We don’t need no education”.
Szkolna nauka jest coraz bardziej sformalizowana, zbiurokratyzowana i odhumanizowana. Obecny system dochodzi do perfekcji w symulowaniu dbania o interesy uczniów. Niby wszystko jest dla nich, dlaczego więc coraz więcej uczniów odrzuca taką formę nauki???
Dzisiejszy system nie uwzględnia faktu, że dzieci są różne, mają różne potrzeby, możliwości, talenty, więc wszystkie próbuje sformatować na jedną modłę. Warto by opisać to „modełko”, wtedy jasno zobaczylibyśmy, jakie talenty w dziesiejszych szkołach pozostają poza sferą zainteresowania. Grażka ma rację, najwięcej wolności jest w przedszkolach.
a sam mistrz Friedrich August von Hayek pisał:
“Życie intelektualne polega na wzajemnym oddziaływaniu jednostek posiadających odmienną władzę i różne poglądy. Rozwój rozumu jest procesem społecznym opartym na istnieniu takich właśnie różnic. Z samej swej istoty rezultaty tego procesu nie są możliwe do przewidzenia. Tak więc nie możemy uzyskać wiedzy o tym, które poglądy będą sprzyjały temu rozwojowi, a które nie. Mówiąc krótko, wzrostem tym nie mogą rządzić, bez jednoczesnego ograniczania go, żadne poglądy, którym dziś hołdujemy. “Planowanie” czy “organizowanie” rozwoju rozumu, a co za tym idzie, postępu w ogóle, zawiera w sobie sprzeczność,. Pogląd, że umysł ludzki powinien “świadomie” kontrolować swój własny rozwój, myli rozum indywidualny, który jako jedyny może cokolwiek “świadomie kontrolować”, z międzyosobniczym procesem, dzięki któremu rozwój ten zachodzi. Próbując poddać ten proces kontroli, stawiamy jedynie bariery dla jego rozwoju, co wcześniej czy później musi spowodować stagnację i upadek rozumu.”
Marzena,
alternatywa, którą tu pokazujesz jest fałszywa, chyba, że mówimy o edukacji rodem z klasy opisywanej w „The Wall”. Analizując swój własny „przypadek”, nie potrafię wskazać, gdzie kończył się przymus a zaczynała własna motywacja, czy też odwrotnie… Podział na intrinsic i extrinsic motivation jest sztuczny. Jeżeli już trzymać się tego przybliżenia, to, bądźmy szczerzy, u podstaw każdego naszego działania leży bodziec zewnętrzny. Setki ton papieru (i nie tylko) zadrukowano usiłując dowieść wyższości „woli” nad „zachetą”, ale jakoś nikomu się to przekonująco nie udało. Oczywiste jest, ze ktoś łatwiej uczy się matematyki, jeśli ją po prostu lubi. Jeżeli jednak (w większości przypadków) nie lubi, to skłonienie go do zmiany zapatrywań (jeśli w ogóle możliwe) jest formą przymusu jakbyśmy tego ładnie nie nazwali. Nie mówię o procesie „budzenia zainteresowań”, ale o tym, co każde z nas zna ze szkolnej rzeczywistości – o etapie, na którym dzieciak przestaje interesować się wszystkim, a jeszcze nie interesuje się (jeżeli kiedyś w ogóle) czymś konkretnym. Uważam, że to jest moment, z którym metodyka zupełnie sobie nie radzi (niezależnie od rozwoju psychologii, neurologii, itp.). Jak pozbyć się „formatowania” ze szkoły naprawdę nie wiem, ale myślę, że nie jest to jedynie kwestia chęci, czy nawet zmiany sposobu myślenia – są przecież realia nie do obejścia. Jak słyszę truizmy w rodzaju „dzieci są różne, mają różne potrzeby, możliwości, talenty”, to zaraz pytam: Jak to pogodzić z dwoma centralnymi wymogami współczesnej pedagogiki – zapewnić treść edukacyjną (najlepiej jednakową) wszystkim i sprawić by była interesująca (i życiowa) dla każdego? Czy tylko ja dostrzegam tu sprzeczność? Przecież, pomijając już wątpliwą społecznie wartość edukacji indywidualnej (nie mówię o mniej lub bardziej doraźnych korepetycjach), jej wprowadzenie na skalę masową jest fizycznie niemożliwe. Wyjątkowe sukcesy potwierdzają jedynie regułę. Teoretycznie szkoła mogłaby (i czasami) próbuje wyławiać talenty, musimy jednak pamiętać, ze np. talent do pisania esejów może kolidować z rozwiązywaniem równań, a z tym szkola sobie nie poradzi, jeśli ma pozostać masowa. Formatowania możnaby uniknąć jedynie w ogóle rezygnując z curriculum krajowego, albo, co już wielokrotnie proponowałem, przez wprowadzenie kilku curricula, wprowadzając edukację „różnych prędkości”, z zachowaniem integralności tak powstałego systemu.
Zgadzam sie natomiast z tezą o symulowaniu dbania o interes ucznia. Szkoła (jak każda biurokracja) dba przede wszystkim o siebie, kreując tysiace ładnie brzmiących zaleceń, które żyją tak długo jak schnie atrament, którym je spisano.
Robert,
odpowiedzią na Twój komentarz powinna być książka i to gruba 🙂
Odniosę się więc do dwóch Twoich zdań:
„Jak to pogodzić z dwoma centralnymi wymogami współczesnej pedagogiki – zapewnić treść edukacyjną (najlepiej jednakową) wszystkim i sprawić by była interesująca (i życiowa) dla każdego?”
A czemu mielibyśmy to godzić??? Dlaczego wszyscy mają się uczyć tego samego i to w dodatku w tym samym czasie i tempie? Przeciez każdy wie, że to jest NIEMOŻLIWE!!!Oczywistą oczywistością jest, że wszystkich nie można zainteresować wszystkim. Jeśli wbrew logice próbuje się coś takiego robić, to wychodzi to, co mamy dziś w szkołach.
Napisałeś:
„Przecież, pomijając już wątpliwą społecznie wartość edukacji indywidualnej (nie mówię o mniej lub bardziej doraźnych korepetycjach), jej wprowadzenie na skalę masową jest fizycznie niemożliwe.”
Dlaczego niemożliwe??? Rzeczywiście postulat wprowadzenia indywidualizacji w modelu szkoły transmisyjnej, gdzie nauczyciel mówi, a uczniowie słuchają, jest niemożliwością, a wszelkie próby przypominają rozwiązaniu problemu kwadratury koła. Ale czy szkoła MUSI BYĆ TRANSMISYJNA? Czy bez ciągłego nauczania, uczniowie nie mogą się uczyć? Czy system edukacyjny musi być niedemokratyczny, musi pomijać autonomię uczniów i niszczyć ich samodzielność?
Pisałam już o niemieckiej inicjatywie „Schule im Aufbruch”. Niemieccy pedagodzy z dwóch bardzo znanych szkół zaprosili do współpracy badaczy mózgu i wspólnie szukają alternatywy dla szkoły transmisyjnej. Wszak ludzki mózg uczy się cały czas, twierdzą neurobiolodzy. Potrzebuje jedynie bogatego w bodźce środowiska, zadań pozwalających na rozwój i wsparcia.
Takich modeli jest wiele, choćby Summerhill. Badacze mózgu wciąż powtarzają, że błędem jest traktowanie procesu uczenia się jako pochodnej procesu nauczania.
Myślę, że nasze myślenie o szkole jest niewyobrażalnie ograniczane przez ten model, który wszyscy znamy. Trzymając się dotychczasowych zasad, nigdy nie zmienimy edukacji. A ja jestem przekonana, że szkołę trzeba dziś wymyślić na nowo i trzeba do tego kreaktywności i odwagi. Pewne rzeczy wydają się niemożliwe, lub są takie, jedynie dlatego, że przyjęliśmy określone założenia. Jeśli uznajemy, że indywidualizacja jest wartoscią, bo ludzie NAPRAWDĘ są różni i mają różny potencjał, to musimy odejść od tej urawniłowki, bo to nie ma nic wspólnego z równością szans.
@ Krzysztof
Mistrz Hayek ma oczywiście rację. W świecie idei planowanie drogi rozwoju rozumu jest absurdalne. Ale co byłoby logiczną konsekwencją takiego podejścia do rozwoju? Czy stać nas na taką odwagę? Co mamy począć z takimi sprzecznościami w realnym świecie, w którym jest dużo prawdziwych dzieci?
Witam serdeczne
Z zainteresowaniem czytam Państwa wypowiedzi, wszystko to brzmi naukowo i mądrze. ja napiszę o czyms bardziej życiowym. Mój syn ma kłopoty z matematyką od czwartej klasy szkoły podstawowej, wcześniej włg oceny opisowej „coś potrafił, czegos nie potrafił” Obecnie jest uczniem drugiej klasy gimnazjum, badania pedagogiczno – psychologiczne wykazują średni poziom opanowania matematyki. Sytuacja w szkole juz jest mniej „średnia” nie wolno liczyc na palcach, gdyż to swiadczy o „niematematycznym” liczeniu, ma wydłużony czas na pisanie np. sprawdzianów ale nie jest to wykonalne technicznie – koniec lekcji to koniec pisania. Na korepetycjach opanowuje materiał w sposób systematyczny ale powoli, nie nadaje się więc do szkolnego systemu – dwa działy w miesiąc. Z powodu niezliczonej ilosci jedynek z matematyki mój syn „obraził się” na nauke ogólnie i uzyskuje mierne oceny w większości przedmiotów, nawet z ukochanego sportu. Po 1,5 szkoły i porażek matematycznych doszedł do wniosku, ze jest głupi i zapewne do niczego w życiu nie dojdzie. Moje pytanie, które sobie zadaje każdego dnia ; czy moje dziecko rozumie matematykę? kiedy z nim pracuje, pomagam mu mam wrażenie, że w niektórych sytuacjach matematycznych jest lepszy ode mnie. Szukamy metod , aby przetrwać szkołę i „problemy” z matematyką? a może Panią z matematyki, systemem, metodami. Na dzień dzisiejszy ratujemy to, co jest ważniejsze dla mnie od ocen mojego syna a mianowicie relacje między nami, które szkoła skutecznie narusza. Postępujemy zgodnie z tym, co napisal Schoenebeck: „Nie musimy przyjmować postawy Don Kichota i podejmować bezskutecznej walki z wiatrakami, zamiast tego zatrzymajmy sie przed wiatrakiem, rozciągnijmy koc, opatrzymy plastrem szkolne rany dziecka i razem cieszmy się z pikniku”. Stało sie to dla mnie jako rodzica pewną alternatywą w tym szaleństwie Poradni, lekarzy, szkoły, nauczycieli , pedagogów, psychologów. Wszystko po to aby mój syn „lepiej” znał matematykę. Oboje nie znamy tabliczki mnożenia na pamięć, pomagamy sobie palcami w liczeniu, i tacy oboje jesteśmy mało matematyczni. On zapalony sportowiec i muzyk, ja nauczycielka przedszkola.
Pozdrawiam
Pani Honorato,
przeczytałam Pani komentarz ze sciśniętym sercem!!! Nie potrafię poradzić sobie z faktem, że szkoła może tak niszczyć dzieci, że są nauczyciele, którzy zamykają dzieciom drogę do rozwoju. Dziś nie mogę dłużej pisać, ale chciałabym Pani tylko napisać, że liczenie na palcach jest jak najbardziej matematyczne. Najnowsze badania pokazują, że nie wolno dzieciom tego zabraniać. Jak długo potrzebują palców, powinny móc na nich liczyć. Niemiecki badacz mózgu Gerald Hüther mówi, że trawa nie rośnie szybciej, gdy się za nią ciągnie.
Czy rozważała Pani przeniesienie syna do innej szkoły? Jest przecież wielu dobrych nauczycieli, którzy rozumieją, że cała sztuka polega na tym, by pomóc dziecku uwierzyć w siebie. Nauczycielka, o której Pani pisze, zamyka Pani dziecku drogę do sukcesu.
Marzeno, żeby było jasne, nawet przez moment nie wątpiłem, że dostrzegasz istotę problemu. Niemniej jednak, jedna myśl nie daje mi spokoju – szkoła jak dotąd zawsze była „transmisyjna”. Nie oznacza to, że mamy się na to godzić, ale biorąc pod uwagę bezwład instytucjonalny, jestem przekonany, że nasze rozważania są, i długo będą, jedynie „wołaniem na puszczy”. Przywołałem tu wewnętrzną niespójność „naszego” obowiązującego paradygmatu nauczania. Nikt mnie nie przekona, że tej sprzeczności nie dostrzegają specjaliści, metodycy, teoretycy, ludzie, którzy zęby pozjadali na pedagogice! Dopóki ta zmowa milczenia (czym jest spowodowana, chciałbym wiedzieć) będzie tolerowana i z zachwytem obwieszczana jako dobra nowina, nie ruszymy z miejsca. Powinniśmy zacząć się zastanawiać jak poruszyć tą „nieświadomość”, bo to, że podajemy mnóstwo mniej lub bardziej ciekawych recept na polepszenie sytuacji, w niczym jej nie zmienia. Inicjatywy oddolne, działające na zasadzie „kropla drąży kamień” są chyba za wolne w stosunku do tempa w jakim teraz zmienia sie świat. Moim zdaniem jedynym wyjściem jest uzmysławiać ludziom, że ten system nie działa, a nie udowadniać im, ze wszystko jest możliwe, tylko nie wszyscy znają jeszcze właściwe, (koniecznie) „proste” rozwiązania.
Robert,
napisałeś: „Nikt mnie nie przekona, że tej sprzeczności nie dostrzegają specjaliści, metodycy, teoretycy, ludzie, którzy zęby pozjadali na pedagogice!”
Sama znam kilku metodyków i uwierz mi, oni tej sprzecznoście nie widzą!!!!!!!!! Naprawdę uważają, że można kazać studentom pisać scenariusze lekcji, w których co do minuty zaplanują, co uczniowie mają robić i mówić, a jednocześnie twierdzą, że na takich lekcjach można rozwijać uczniowską autonomię i kreatywność.
Jestem w tym środowisku od wielu lat i wciąż nieodmiennie nie mogę pojąć, jak można nie widzieć, że obecny system edukacyjny jest wewnętrznie sprzeczny, że przed nauczycielami stawia się zadania, przy których zadania, które Heraklesowi zlecił król Eurysteus, to bułka z masłem. Czasami zastanawiam się, co sama bym zrobiła, gdybym dziś uczyła w szkole języka polskiego. Jakie cele bym sobie postawiła? Czy oczekiwałabym od moich uczniów, że nauczą wyrażać własne czy powtarzać cudze myśli? Sukces na testach zależy przecież od umiejętności reprodukowania najbardziej schematycznych i szblonowych opinii.
Dzieci nie mają czasu, wiem!!! I to jest najgorsze! Sieć neuronalna dostosowuje się do tego, co robimy. Im dłużej reprodukujemy cudze myśli, tym trudniej to odwrócić. To niszczenie potencjału, z jakim dzieci przychodzą do szkoły, jest nieodwracalną stratą. Do szkoły idą aktywne i pełne wiary w sens nauki, ciekawe świata i chętne do działania, a po kilku latach zmieniają się apatycznych uczniów, których już nic nie interesuje, i którym nic się nie chce. Jak można mówić, że ten system jest dobry??? Tego nigdy nie zrozumiem. Szkoły trzeba zmienić szybko! Powstała właśnie inicjatywa „Uwolnić oświatę”!
http://www.uwolnicoswiate.pl/poprzyj-nas/
O tej kwadraturze koła napisałam już w tekście „Pętla motywacyjna”.
Pani Honorato,
Ja nie umiem spokojnie patrzeć na rzeczy takie, jak to, co Pani opisuje. Pani syn wygląda na modelowy przypadek, z którym sam miałem najczęściej do czynienia, zanim się wyniosłem na wieś, gdzie dają o sobie znać inne problemy – one tu są środowiskowe. Przedtem uczyłem bez wyjątku dzieci z właśnie takimi kłopotami. Marzena ma rację – moim zdaniem chłopakowi trzeba zmienić szkołę koniecznie, rozważywszy tylko to ryzyko, które się wiąże ze zmianą miejsca i rozmaitymi fatalnymi pomysłami, które dzieciakom w tym wieku przychodzą do głowy, kiedy chcą się pokazać w nowym środowisku.
W szkołach, z którymi miałem do czynienia, pytałem zawsze o przypadki dyskalkulii. Opowiadano mi o takich skrajnych przypadkach, ale nikt nigdy nie potrafił pokazać żadnego z nich, choć mnóstwo dzieci ma odpowiednie zaświadczenia i nawet demostruje stosowne kłopoty. Moim zdaniem, jeśli ktoś wie, że 1+1=2 i rozumie dlaczego, to oczywiście umie liczyć, bo liczenie na tym polega. Na niczym innym w zasadzie. Dotąd nie słyszałem o nikim, kto by nie wiedział, że 1+1=2. Liczenie na palcach jest i nie jest „niematematyczne”. Zależy, co z tego rozumie uczeń – i nauczyciel. Ksawery tu pokazywał rozmaite naukowo brzmiące sformułowania, np. aksjomatyki Peano itd. W liczeniu samym w sobie – którego szkoła uczy bez powodzenia i niczego innego w zasadzie nie uczy – nie ma niczego ciekawego. Ani sprytnego. Pani syn, który tego nie lubi, nie jest ani „upośledzony”, ani gorszy. Człowiek, który się nie potrafi skoncentrować na głupich i pozbawionych sensu czynnościach, które mimo tej głupoty jednak wymagają uwagi, jest niekoniecznie niezdolny. Przeciwnie – może jest właśnie zdolniejszy? Mnie się to założenie sprawadza – w zasadzie bez wyjątku. Co więcej, uważam, że nieznajomość tabliczki mnożenia, choć bywa niewygodna, zwłaszcza w szkolnych sytuacjach, o niczym nie decyduje w „prawdziwej matematyce” i wcale nie uniemożliwia rozwoju. W mojej praktyce na ogół łatwiej mi szło właśnie z dzieciakami, które tabliczki mnożenia nie znały niż z tymi, które ją miały wykutą na blachę. Jeśli jest Pani gdzieś w okolicy Warszawy, albo Pani syn miałby ochotę się odezwać – proszę się skontaktować (p.kasprzak@wp.pl). Nigdy nie prowadziłem zajęć np. przez Skype’a, ale podobno e-learning to przyszłość, więc może czas spróbować. „Nadgonienie” braków na poziomie gimnazjum nie powinno trwać dłużej niż dwa miesiące. Korepetycje oparte na działach szkolnego programu są najwyraźniej złe właśnie z tego powodu.
Oczywiście ma Pani rację. To nie tabliczka mnożenia jest problemem, ale samoocena, którą w Pani chłopaku powoduje szkoła. To nie musi być aż tak dramatyczne zjawisko, ale ono dotyczy ogromnej większości dzieci, które od podobnie kompetentnych nauczycieli dowiadują się, w czym są zdolne, a w czym nie. To są same bzdury. Szkolny program nie pozwala dostrzec zdolności – jest na to zbyt głupi i zbyt nudny. Prawie na pewno od tej głupoty i nudy Pani syn się odbija. Swoją drogą, czy nauczycielka Pani syna rzeczywiście nigdy nie widziała nikogo dorosłego i wykształconego, kto by sobie na palcach nie odliczał np. miesięcy ciąży, dni cyklu płodności itd? Co to za baba koszmarna?
To bardzo ciekawa dyskusja, bo ilustruje „bezradność oświatową”. Wiemy, że jest źle, wiemy jak mogłoby być – ale nic z tego nie wynika w praktyce. To dotyczy matematyki, języka obcego, … – wszystkiego. Sytuacja jest zadziwiająca i straszna. Wydaje się, że w mamy do czynienia ze zniewoleniem. Szkoła i nauczyciel są zniewoleni. A może nawet minister i prof. Semadeni są zniewoleni ?
Sądzę, że jest wielu nauczycieli matematyki, którzy są gotowi uczyć mądrze, twórczo i ciekawie. Ale dlaczego mieliby to robić, z jakiego powodu i w jakim celu ?
A gdzie tkwi owo źródło zniewolenia? W szkolnej tradycji i jedynym modelu szkoły, jaki znamy? We wzorach, które przemujemy? (Przecież wszyscy tak robią!) W źle rozumianym pojęciu nowoczesności? W złym rozumieniu procesu uczenia się? (Uczniowie uczą się tylko wtedy, gdy są nauczani?)
Marzena zapytała: „gdzie tkwi źródło zniewolenia” ?
Obawiam się, że jednym ze źródeł jest „przyzwyczajenie do zniewolenia”. My jesteśmy wychowani w zniewoleniu i nauczeni adaptacji do życia w warunkach zniewolenia. To jest nasza tradycja. Przyczyna i skutek tworzą tu spiralę.
Ilustracją jest zagadnienie „swobody wypowiedzi” wśród nauczycieli. W naszych szkołach nie ma takiej tradycji, wolność wypowiedzi nie jest standardem. Uczniowie nie uczą się tej formy komunikacji i nie nasiąkają nią, więc przenoszą ten deficyt w życie dorosłe, czyli również spowrotem do szkoły. Bez swobody wypowiedzi trudno o swobodę działania. Brak swobody wypowiedzi i działania sprzyja rozkwitowi narzekania.
Czytając artykuł „Czy matematyka uczy myślenia” przypomniały mi się moje lekcje matematyki ze szkoły podstawowej i średniej. Nigdy nie mogłam się jej nauczyć, myśląc że wina tkwi we mnie. Ale tak nie było – winny był system. Programy, przeładowane podręczniki, przestarzałe metody pracy nauczycieli, przepełnione klasy, nauka na dwie zmiany, stres ucznia i nauczyciela – to elementy układanki, która tworzyła negatywny obraz edukacji. Sama musiałam zmierzyć się z problemem, nauczyć się matematyki w swoim zakresie. Tak było 20 lat temu i tak jest i teraz. Kiedy przeglądam podręczniki moich dzieci, które uczą się w gimnazjum i szkole średniej, mam takie wrażenie, że czas zatrzymał się w miejscu. Mimo tak wielu osiągnięć w nauce, dydaktyce, pedagogice itp, uczący w szkołach nauczyciele posiadający fachową wiedzę, doświadczenie nie potrafili dopracować swoich metod pracy(szczególne z matematyki). Być może nikt ich do końca tego nie nauczył? Przejaw aktywności i chęci działania ucznia na lekcjach z matematyki do dziś skazane są na niepowodzenie, ponieważ to nauczyciel narzuca(choć może wybrać) dany zakres materiału. Tak tłumaczy go uczniom, że nic z niego nie potrafią zrozumieć, niejednokrotnie przepisuje przykłady z książki, zawile tłumacząc je. Na co uczniowie oburzają się, bo przecież sami mogą je przeczytać, a oczekują od nauczyciela zupełnie czego innego – nauki rozwiązywania problemu, podania argumentów za i przeciw, twórczego i aktywnego myślenia.
Dywagacje zawsze sprowadzają się do jednego, że jest źle.
A najważniejsze umyka: masowość.
Zakłada się że nauczanie ma być skuteczne dla każdego. To nie logiczne i niemożliwe i wszystkie próby ujednolicenia takiego nauczania są z góry skazane na niepowodzenie. Żadne metody tego nie zmienią. Nawet najgenialniejszy nauczyciel nie rozwinie ciekawości matematycznej u każdego ucznia.
Więc może po prostu wrócić do starych czasów- tych kiedy nieliczni się uczyli a reszta… „ciemna tabaka”. Albo pozwalać uczyć się uczniom tylko tego co chcą ( a jak nic nie chcą to nię 😉
Tak więc trochę przewrotnie 🙂 może zacznę następną dyskusję…?
A wtedy to okaże się jak mamy wspaniała szkołę bo jednak wszyscy mogą się kształcić…, a te drobne niedoskonałości to tylko drobna przeszkoda?
W końcu historycznie rzecz biorąc to co mamy to luksus-może o nim zapominamy?
W w ogóle kiedy Neurodydaktyka będzie do kupienia?
Pozdrawiam i czekam z niecierpliwością
@ Anja
Czy Pani sądzi, że podstawy matematyki są zbyt trudne dla przeciętnego, normalnie rozwiniętego dziecka? Czy może przyczyny problemów z tym przedmiotem należy szukać w metodach nauczania?
Też bym chciała wiedzieć, kiedy „Neurodydaktyka” się ukaże 🙂 Wszystko jest już zrobione, łącznie z korektą po składzie. Teraz wszystko w rękach wydawnictwa.
@ Aurelia
To, co pisze Aurelia o przepisywaniu przez uczniów książki do zeszytu jest naprawdę deprymujące. Zastanawiam się, jaki sens ma takie zadanie.
Aurelia pisze też, że nauczyciele nie potrafią nowego materiału jasno wytłumaczyć. A czy gdzieś się tego uczą?
@ Wiesław
Jak czytam te nasze wpisy o zniewoleniu, ich źródle, matrixie, w którym wszyscy tkwimy, to sobie myślę, że … to może być różnie odbierane. No wiesz, teorii spiskowych jest wiele 🙂 Mam nadzieję, że jestesmy dobrze rozumiani. Myslę, że źródło zniewolenia tkwi w naszych głowach: „Szkoła zawsze opierała się na przymusie! To musi boleć, ale przecież wszyscy jakoś przez to przeszliśmy, więc nasze dzieci też to przeżyją!” Bardzo trudno wyobrazić sobie, że szkoła może wyglądać i działać inaczej.
Wszystko zależy jak rozumiemy „podstawy”. Niektórzy uważają, że dodawanie i odejmowanie wystarczy do przeciętnego życia…
W sumie mnie (osobie dość dobrze wykształconej rzadko przydają się inne matematyczne funkcje – ostatnio co prawda wypełniałam Pit- a, a to dopiero jest matematyczno-logiczny bałagan 🙂
Metody nauczania zaś są tyle warte co uczący nauczyciel!!!
Sama uczę (również nauczycieli) i jednej prawdy nie mogę wtłuc do głów- najważniejszy w nauczaniu jest NAUCZYCIEL – jego osobowość, charakter, podejście, język, ubiór a a nawet sposób poruszania się… Wszystko!
Każdy uczeń odbiera info przez odbiór nauczyciela – to taki swoisty filtr. Nie ważne jak dobre są metody jeśli nauczyciel jest jak to mówi młodzież -nie jest spoko.
U mojego syna w klasie jeszcze w gimnazjum miałam przypadek pani, która na lekcjach pozwalała uczniom na wszystko-chodzili po klasie, rozmawiali podczas kiedy ona prowadziła lekcję-wykład. Teoretycznie więc nie słuchali. Ale tak lubili ową Panią, że na sprawdzian uczyli się wszyscy i jak komuś zdarzyło się dostać 3 to reszta go beształa, żeby nie robił Pani przykrości. Tak więc metoda do – „D” typowy wykład (żeby było śmieszniej podobno bez fajerwerków-lekka nuda) – a efekt?-wszyscy nie dosyć że się uczyli to jeszcze wzajemnie się mobilizowali.
Uczę więc np. nauczycieli – że uśmiech i szczerość to podstawa, że na szacunek uczniów trzeba zasłużyć-nie można go wymagać, że pochwała czyni cuda, że stres powoduje, że neurony zamierają.
Mówię i pokazuję…
Syzyfowa praca…
Sama metoda/y to niestety niewiele…
Czekam więc na publikację 🙂
Pozdrawiam
Już od dawna nurtował mnie pewien problem dlaczego tak nie lubię matematyki. Wydawało mi się albo byłam pewna, że problem tkwi we mnie, brak zaangażowania, zrozumienia, słaba koncentracja , brak cierpliwości. Były tomoje wewnętrzne, pytania bez odpowiedzi. Okres szkolny to wieczne korepetycje, strach przed egzaminem i załamanie rodziców, że tyle pieniędzy wydają ,a efekt to średnio zdany egzamin ale sukces dla mnie .Nieraz jeszcze łapię się na tym, że mam obawy związane z interpretacją zadań tekstowych i zadaję sobie pytanie „ Czy potrafię pomóc synowi, czy ja to dobrze zrozumiałam?”
Teraz z biegiem lat zrozumiałam, że tak naprawdę to winny jest ten cały system szkolny, który niestety ale jest nie reformowalny. Oczywiście nie jest odosobniony prym tutaj też wiedzie służba zdrowia i policja ale to już inny temat.
Skostniały system i nauczyciele podążający za podstawą programową a za nimi wystraszony uczeń. Uczeń walczący o oceny, zakuwający i zapominający.
Nauczyciele bez innowacji i motywacji i nie dotyczy to tylko szkoły problem zaczyna się już od przedszkola. Jak wiadomo dzieci maja duży potencjał, chcą poznawać, są ciekawe wszystkiego, zadają mnóstwo pytań. Na etapie przedszkolnym dzieci uczą się poprzez zabawę więc należałoby tak zaaranżować zajęcia, które zostałyby w ich pamięci na długo i zapoczątkowałyby proces nauki matematyki bez oporu i przymusu, a z chęcią i ciekawością.
„Badania pokazują, że gra na pianinie lub keyboardzie rozwija u dzieci w wieku przedszkolnym rozumowanie przestrzenno-czasowe. Skala muzyczna jest doświadczana przez mózg jako wzór, dlatego ten po wielu godzinach poświęconych grze na instrumencie lepiej radzi sobie również z innymi wzorami”- będąc na praktykach w jednym z Toruńskich przedszkoli, widziałam w jednej grupie lekcję gry na gitarze, co bardzo pozytywnie mnie zaskoczyło 🙂 myślę, że warto wprowadzać właśnie takie zajęcia, co później przekłada się na praktyczne umiejętności także w innych dziedzinach.
Ciągle ta matematyka. Matematyka jest prosta, jak ktoś jej nie umie to po prostu nie chce mu się uczyć, bo np. jest dla niego nieciekawa, albo jest uprzedzony i się boi ( bo np, ktoś mu wmówił że to tego trzeba mieć pewne szczególne zdolności ).
A wiec jako osoba która wkrótce będzie kończyć studia matematyczne i to na nie byle czym, mogę powiedzieć że tu przynajmniej trochę tych zdolności matematycznych trzeba mieć, niemniej do czasów studiów, cała wcześniejsza edukacja jest bardzo schematyczna ( właściwe wykuj schemat zadania i go odtwórz ), więc może to zrobić przy określonym nakładzie pracy każdy, łącznie z osobami które można podejrzeć o wszelkie przymioty ducha, ale nie o zdolność logiczne i abstrakcyjne myślenia ( po prostu zakuwają, rozwiążą parę zadań określonego typu i umieją ale nie rozumieją ), wychodzi to potem na studiach….
Pani Rozalino,
napisała Pani: „cała wcześniejsza edukacja jest bardzo schematyczna (właściwe wykuj schemat zadania i go odtwórz).” A może gdyby uczyć matematyki inaczej, to nie byłoby z nią problemów? Polskie badania pokazują (A. Kalinowska, D. Klus-Stańska, E. Gruszczyk-Kolczyńska, Raport o stanie edukacji 2010), że obecna formuła nauczania matematyki wygasza logiczne myślenie. Myślę, że powinnśmy coś z tym zrobić. Najpierw osoby uczące matematyki muszą dostrzec problem bo jak się go nie widzi, to nie można go rozwiązać 😉
„gdyby uczyć matematyki inaczej, to nie byłoby z nią problemów?”
Oczywiście, odpowiedź na to pytanie brzmi: TAK, wywołuje jednak pytanie kolejne: „JAK jej uczyć, by nie było z nią problemów?”
„Inaczej” nie jest tu wystarczająco precyzyjną odpowiedzią, co najlepiej ilustruje przykład katastrofy, jaką było „new math” pół wieku temu.
” osoby uczące matematyki muszą dostrzec problem ”
Postulat tyleż słuszny, co niewykonalny. Ogromna większość osób uczących matematyki sama nie ma o matematyce najmniejszego pojęcia, dysponuje tylko wykutymi schematami, które odtwarza.
Recepta jest tyleż prosta i banalna, co niewykonalna na masową skalę: matematyki muszą uczyć matematycy, a nie pedagogowie.
Albo inaczej, niemalże tautologicznie: „osoby uczące rozumienia matematyki muszą same tę matematykę rozumieć”
@ Xawer
Uczyć inaczej, to znaczy uczyć tak, by rozwijać myślenie. Dziś na lekcjach matematyki trzeba opanować algorytmy i schematy. Tzn. że lekcje matematyki w obecnej formule wygaszają myślenie.
Oczywiście, że szkolne podejście do matematyki (nie tylko matematyki) wygasza myślenie!
Toż właśnie o tym piszę: by uczyć rozwijając myślenie trzeba je mieć samemu rozwinięte.
A nauczyciele (w istotnej większości) mają swoje własne myślenie uwstecznione, za to opanowali algorytmy i schematy.
Do tego całe „wsparcie dydaktyczne” podtyka im kolejne gotowe schematy, a studia pedagogiczne utwierdzają w przekonaniu, że najważniejsze są odpowiednie metody i to te metody załatwią sprawę, trzeba tylko zastosować TEN WŁAŚCIWY schemat.
” Dziś na lekcjach matematyki trzeba opanować algorytmy i schematy. Tzn. że lekcje matematyki w obecnej formule wygaszają myślenie.”
I tak właśnie jest.
Zresztą dotyczy to całego systemu edukacji ( nie uczy się myślenia tylko rozwiązywania testów, wstrzeliwania się w klucz ).
Często słyszałam rzeczy w stylu matematyka „uber alles „, jej nie da się zakuć jak innych przedmiotów, tutaj trzeba myśleć – nonsens – nauka sprowadza się do odtwarzania schematu. Potem takie osoby bardzo szybko rozczarowywały się na studiach i to już na pierwszym roku ( zanim przeszło się do bardziej abstrakcyjny rzeczy ) jak okazało się że przerasta ich cokolwiek bardziej abstrakcyjnego niż podstawianie pod wzór.
Pana lek na problem jest błędny, ponieważ obecnie większości nauczycieli skończyła studia matematyczne a nie pedagogiczne. Po pierwsze system nie taki a nie inny, trzeba przygotowywać według programu, pod maturę – czyli algorytmy i schematy. Poza tym ja studiowałam na najlepszym ośrodku akademickim w Polsce ( Uj ), a gwarantuję że studia matematyczne na rożnych innych uczelniach mogą mieć żenujący poziom. Notabene osoby które odpadły u nas ( i nie dlatego że się obijały) często przenosiły się na matematykę na uniwersytet pedagogiczny, gdzie potrafiły nawet dostawać stypendia.
Przyznaję się do skrótu myślowego, co spowodowało nieporozumienie, bo chodziło mi o to samo, na co Pani zwraca uwagę.
Pisząc o „nauczycielach pedagogach a nie matematykach” miałem na myśli absolwentów wyższych szkół pedagogicznych (dziś często zwanych uniwersytetami czy akademiami pedagogicznymi), niezależnie od tego, jaką specjalność tam wybrali.
Chodzi mi o to, że do sensownego (w moim przynajmniej pojęciu) uczenia matematyki trzeba mieć rozwinięte to matematyczne myślenie i własne zainteresowanie i fascynację matematyką, czyli trzeba być zdolnym i do przejścia przez uniwersyteckie studia matematyczne na pierwszoligowych wydziałach matematyki, jak UJ czy UW (nie kłócąc się o pierwszeństwo między Krakowem a Warszawą…).
Druga rzecz, że tresura w bezmyślnym stosowaniu schematów zaczyna się już w I klasie podstawówki (a do pewnego stopnia nawet w przedszkolu) — gdzie uczą nauczycielki nawet nie „matematyki nauczycielskiej”, ale nauczania początkowego, w ogromnej większości wyselekcjonowane do zawodu poprzez niechęć i niezrozumienie do matematyki.
O przerażająco niskich kompetencjach matematycznych nauczycieli matematyki i studentów studiów, przygotowujących do uczenia matematyki w szkole pisał szeroko raport IBE (rozdz.9, Matematyka pod lupą)
http://eduentuzjasci.pl/pl/publikacje-ee-lista/raporty/150-raport-o-stanie-edukacji/770-raport-o-stanie-edukacji-2010.html
a i w innych badaniach (np. TEDS-M) można znaleźć dość zatrważające statystyki.
Bardzo jestem ciekawa co sądzi Pani o obciążaniu mózgu przedszkolaka. Moja córka mająca 3,5 roku właśnie zaczęła przedszkole i jestem trochę zaniepokojona ilością zajęć zorganizowanych w stosunku do czasu na swobodną zabawę. Wprawdzie wiele tych zajęć daje dziecku możliwość nauki przez doświadczenie, część raczej koncentruje się na tym, że dziecko obserwuje lub wykonuje polecenia. W gronie rodziców rozgorzała dyskusja na temat tego ile ma być i jakich zajęć i ja osobiście jestem trochę przerażona jak bardzo rodzice są nastawieni na stymulowanie 3, 4 latków. Ale może moje obawy są niezasadne? Co Pani o tym sądzi?
Pani Joanno,
aby dzieci mogły w pełni rozwinąć swój potencjał, potrzebują swobodnej zabawy. Zabawa jest dla nich formą intensywnej nauki. Proszę przypomnieć sobie zabawy dzieci z Bullerbyn!
Dzieci mogą wtedy wypróbować swoje możliwości i bez strachu podejmują próby uczenia się nowych rzeczy. Problem w tym, że my dziś nie doceniamy roli zabawy (zabawa tylko wtedy jest zabawą, gdy nie sterują nią dorośli). Nie wolno zabierać dzieciom tej możliwości rozwoju, a dziś, właśnie w imię tego rozwoju, pozbawiamy je najintensywniejszej formy uczenia się.
Dziękuję bardzo za te odpowiedź, może ten argument przemówi trochę do rozsądku rodziców, choć nadzieję na to mam nikłą niestety 🙁
Dziękuję za odpowiedź, podam ten argument rodzicom. Niestety wygląda na to, że w trakcie 6h pobytu w przedszkolu na swobodną zabawę moja córka wraz z innymi dziećmi mają niespełna godzinę, a i ten czas czasami zajmuje jakaś akademia/teatrzyk itp. 🙁 W zasadzie swobodna zabawa jest dla dzieci od 7 rano do śniadania i od 16 do 17, no i jeśli dzieci są na dworze, choć i wtedy czasami organizuje im się różne aktywności.
Dzieci w przedszkolu już się nie bawią – one są „aktywizowane” i egzaminowane. I znów dzieje się tak ze względu na zapotrzebowanie na złą edukację. Rodzice oczekują, że w przedszkolu „będzie się działo”, bo przecież za to płacą. Wydawanie pieniędzy na „zwykłą” opiekę nie mieści im się w głowie. A trzylatek jest od rana katowany nie tylko pp, ale całą paletą zajęć dodatkowych, bez których jego rodzic nie wyobraża sobie jego dalszego życia. Na nuworyszowskie zapędy nie ma rady – jest to pętla sprzężenia zwrotnego, bo przecież żaden właściciel przedszkola nie będzie podcinał gałęzi, na której siedzi…
Niestety z przedszkolami publicznymi dzieje się to samo. Moja córeczka jest w publicznym przedszkolu, które dzięki finansowaniu przez miasto oraz temu, że ma więcej chętnych niż może przyjąć nie powinno być zależne od widzimisię rodziców. Ale jednak jest…
Ciekawa jestem, w czym widzicie zagrożenie dla dziecka, które raz w miesiącu w przedszkolu uczestniczy w koncercie muzycznym, a raz w tygodniu w półgodzinnych zajęciach muzycznych lub sportowych prowadzonych przez specjalistę z zewnątrz (rytmik, trener).
Bo od ponad roku nie można w przedszkolu organizować zajęć dodatkowo opłacanych przez rodziców, na które uczęszczają niektóre dzieci. Musi być dla wszystkich.
Absolutnie nic. Problem zaczyna się, kiedy dzieciak przerzucany z jednych zajęć na drugie, dorywa się wreszcie na 20 minut do klocków, którymi wreszcie może bawić się bez wytycznych pani, i w tym momencie nadchodzi mama i zabiera go do domu… Chodzi o to, że od najmłodszych lat przyzwyczajamy dzieci do robienia wszystkiego na gwizdek, pod nadzorem, według ściśle określonych reguł i w pełnym podporządkowaniu interesom grupy. A potem zastanawiamy się, dlaczego ciągniemy się w ogonie pod względem kreatywności i innowacyjności. Dużo mówi się o podmiotowości, a dziecko, które nie jest władne zdecydować, czy woli farby od kredek, samochodzik od piłki nigdy nie uczy się podejmowania własnych decyzji. W szkole często zastanawia mnie, jak to możliwe, że nastolatki nie są w stanie zadbać o własny interes, wybrać, co im się bardziej opłaca (oprócz ‚nicnierobienia’) i myśleć w perspektywie tygodnia. To jest właśnie efekt zdejmowania z nich jakiejkolwiek odpowiedzialności za samych siebie – nie tylko przez nadopiekuńczych rodziców, ale także przez „prospołeczne” i ściśle zorganizowane zajęcia, w czasie których nie ma miejsca na inwencję, podejmowanie ryzyka, sprawdzenie własnych możliwości bez konsekwencji oceny – wszyscy zawsze wiedzą od nich lepiej: pani w przedszkolu, że rytmika jest ważniejsza od rzucania piłką, babcia, że ziemniaki z koperkiem lepsze od tych bez, itd, itp. To jasne, że nie chodzi o to, żeby trzylatki organizowały sobie dzień, ale żeby choć w przedszkolu mogły jeszcze nie podlegać korpopresji…
„Problem zaczyna się, kiedy dzieciak przerzucany z jednych zajęć na drugie”…
Problem w tym, że takiego problemu nie ma. I nawet w czasach „zajęć dodatkowych” go nie było, bo one mogły być organizowany po podstawie programowej, czyli po 13.00 najczęściej.
Nie mam pojęcia, skąd owo przekonanie o udręczeniu dzieci organizowanymi im zajęciami w przedszkolu.
Oczywiście, jest pp i programy. Zatem np. ja w godzinach 9.00 – 11.30 trzy razy w tygodniu po pól godziny przebieram dzieciaki w kostiumy i mamy gimnastykę, ze trzy razy siadamy w kole i coś im czytam, a po tym rozmawiamy, ze dwa liczymy klocki, misie i samochody, ze dwa trzy wycinamy i kleimy, codziennie kilka minut śpiewamy i tańczymy…
Po 12.00 godzinę staramy się być na dworze – w ogrodzie lub długim i zawiłym spacerze po osiedlu bloków, zatrzymując się przy ptaszkach, kwiatach drzewach i kasztanach.
I ponieważ ucięło mi kawałek – naprawdę, jest dość czasu na klocki i samodzielne zabawy – w takim zakresie, jak wyposażona jest sala zabaw.
Chwała Ci za to :).
Z niecierpliwością czekam na Pani tekst o przedszkolakach, by móc o nim podyskutować z Dyrektorką przedszkola mojej córki.
Pani Joanno,
argumenty na rzecz swobodnej zabawy znajdzie Pani w mojej „Neurodydaktyce”. Tam dość obszernie omówiłam rolę zabawy.
Dziękuję, na razie miałam inne lektury,a Neurodydaktyka czekała w kolejce, ale w takim razie myślę, że zajrzę do niej jak najszybciej.
I już sam nie wiem czy matematyka rozwija myślenie u dzieci ?? :(:(:(:(
Każdego roku analizuję bardzo dokładnie wyniki OBUT. Rzeczywiście wyniki nie są zbyt pocieszające. Pokazują, iż nauczanie matematyki w pierwszych latach edukacji szkolnej idzie w złym kierunku i po prostu jest źle prowadzone przez nauczycieli. Badanie i publikacje dotyczące zdolności Pani prof. Gruszczyk – Kolczyńskiej również na to wskazują. W swojej książce” O dzieciach matematycznie uzdolnionych. Książka dla rodziców i nauczycieli” przytacza ona wyniki badań nad uzdolnieniami matematycznymi z których wynika, iż więcej niż połowa dzieci w Polsce przed rozpoczęciem nauki w szkole wykazuje uzdolnienia matematyczne. Sytuacja ulega zmianie, gdy zaczynają uczęszczać do szkoły. Po 8 miesiącach nauki tylko co ósme dziecko przejawia takie zdolności. Pani profesor dokładnie wyjaśnia powód tego spadku. Niestety winny jest nauczyciel, który organizuje nudne zajęcia, zniechęca uczniów do podejmowania ” wysiłku umysłowego”- słowem „zabija mózg”. Myślę, że wynika to z aktu, że często nauczycielami szczególnie na I etapie kształcenia są osoby, które sami mają złe doświadczenia z matematyką z czasów kiedy byli uczniami. Nauczyciel musi być pasjonatem. Uczniów nie da się oszukać. Warto przeanalizować sposób kształcenia studentów. Czy godzin w zakresie metodyki edukacji matematycznej jest wystarczająca? Czy jest wsparcie w zakresie metodyki, kiedy nauczyciel rozpoczyna pracę? Zachęcam do lektury poradników na stronie OBUT w zakładce warto przeczytać oraz książek wspomnianej Pani profesor E. Kruszczyk – Kolczyńskiej a szczególnie jej nowej pozycji „ Edukacja matematyczna w klasie I. Książka dla nauczycieli i rodziców”. Gorąco polecam i nie tylko do czytania ale przede wszystkim do stosowania w pracy z dziećmi.
„Badacze mózgu podkreślają różnorodność doświadczeń zebranych we wczesnym dzieciństwie, o którą upomina się również Alina Kalinowska. Dlatego rodzice i nauczycielki pracujące w przedszkolach powinni starać się tworzyć środowisko edukacyjne dostarczające różnych bodźców i umożliwiających możliwie różnorodne formy interakcji ze światem zewnętrznym. Im więcej doświadczeń cielesnych w dzieciństwie, im więcej możliwości manipulowania przedmiotami, tym lepsze rozumienie pojęć abstrakcyjnych w późniejszych latach.” Ale po przedszkolu przychodzi szkoła. szkoła do której „zapraszane” są coraz młodsze dzieci (tj. te w przedziale 6,8-5,9). Z rozwojowego punktu widzenia dzieci o ogromnej potrzebie ruchu. I- zwykle- sadza się je na ładnie i równo, jeden za drugim, ustawionych krzesełkach. I oczekuje, że będą „stosować się do przyjętych norm”. I pierwszy „zong”- bo się nie stosują. I oczekuje się, że będą składnie rozwiązywać zadania. I tu drugi „zong”. Choć myślę, że zawód nauczyciela to obecnie jeden z najtrudniejszych i najbardziej odpowiedzialnych zawodów, to jednak oczekuję, że konkretny nauczyciel dostający młodszego ucznia do klasy zadba o jego potrzeby. Aktywność ruchowa i ciekawość poznawcza. Dojrzewanie struktur mózgowych, choć to nie potrzeba, też domagałoby się o swoje: o odpowiednie doświadczenia logiczne, które pozwolą na uogólnienie ich w efekcie czego pojawi się operacyjność myślenia na poziomie konkretnym. I wtedy zacznie się mozliwość przyswajania „prawdziwej” matematyki, bo to pierwszy, niezbędny krok w kierunku myślenia pojęciowego, abstrakcyjnego, które jest w matematyce nieodzowne.
Wyobrażam sobie (choć nie pracuję z dziećmi w klasie, więc może moja wyobraźnia podsuwa mi nierealne obrazy) nauczyciela, który wraz z dziećmi eksperymentuje przy uzyciu kaszy, piasku, wody, plasteliny (tak jak pisze o tym prof.E. Gruszczyk – Kolczyńska i E. Zielińska), bawi się, czy wyrusza na wyprawę aby obmierzyć świat. Szkoła mogłaby być przygodą, a nauka – frajdą. A co najważniejsze- dzieci, które potrzebują ruchu jak tlenu mogłyby się ruszać 🙂